ЧАСТЬ A

4.На диаграмме изображено количество мальчиков и девочек в 5 классах .

Если в параллелограммеABCD величина угла BAC равна 30^o , < CAD = 27^o , то величина угла D равна 180^о - (30^о + 27^о) =  123^о

Если BD = 12 см, CD = 13 см, то длина BC составляет  \/ 13² - 12²   = \/ 25*1   = 5 см

(для вычислений рациональнее воспользоваться формулой сокращенного умножения a²-b²=(a+b)(a-b)   )

Если BD- высота треугольника ABC , AD = 3 см, DC = 5см и

BD = 7 см, то площадь треугольника  ABC равна  (AD+DC)*BD/2 = 8*7/2 = 28см²

Если диагональ KLMN  KM = 6 см, < MKN = 30^o , то длина стороны MN равна 3 см.

(катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы)

ЧАСТЬ B -C

 Вычисли значение выражения

a) Явно напрашиваются вычисления в десятичных дробях
5 ⁶/₂₅ = 5,24  ;  ³/₄ = 0,75
b) Следовательно пример можно записать так:

10,22-7,28 : ( 5,24+1,76)-0,75

1) 5,24+1,76 = 7
2) 7,28:7 = 1,04
3) 10,22 - 1,04 = 9,18
4) 9,18 - 0,75 = 8,43

Ответ: 8,43

2.Семья Берзиньш в октябре израсходовала 60 киловатт-часов (кВт-ч) электроэнергии, а в ноябре - на 15% больше, чем в октябре. Расход электроэнергии в ноябре составил ³/₄ количества электроэнергии потребленной в декабре. Достаточно ли 4 латов для оплаты счёта за декабрь, если 1 кВт-ч стоит Ls 0,039 ? 

1) Сколько электроэнергии израсходовали в ноябре?

60*1,15= 69 (кВт-ч)

2) Сколько электроэнергии израсходовали в декабре?

69/3*4= 92 (кВт-ч)

3) Сколько надо заплатить за электроэнергию?

0,039*92= 3,588 Ls

4) 3,588 Ls < 4 Ls Следовательно 4 латов вполне достаточно.

3.Периметр равнобедренного треугольника 36 см, длина боковой стороны 10 см. Вычисли длину высоты, проведенной к основанию, и площадь треугольника.

1) AC = 36-10-10=16 см
2) AD = AC/2 = 16/2=8  см (так как треугольник равнобедренный по условию, а следовательно его высота, проведенная к основанию является также и медианой)
3) По теореме Пифагора BD = \/ AB² - AD² = \/ 100 - 64 = \/ 36 = 6 cм
4) S_ABC = AC * BD / 2 = 16 * 6 / 2 = 48 cм²

Во-первых, проанализируем знаменатели дробей. Они не должны обращаться в 0. Очевидно, что это условие будет выполняться, если х не  равен ± 1.

При решении этого уравнения очень важно не ошибиться со знаками!

Ясно, что придется приводить дроби к общему знаменателю
1- х² = (1+х)(1- х)

Но в знаменателе дроби в правой части уравнения стоит не 1-х, а  х-1

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножим на одно и то же число, поэтому спокойно умножаем и числитель, и знаменатель на -1 и начинаем решать.

6 - 6х - 10 + 1 - х² = -5х - 5

2 - х - х² = 0  или х² + х - 2 = 0

Решив квадратное уравнение получим х₁ = 1 ; х₂ = -2, но в самом начале мы уже выяснили, что х не может быть равен 1, следовательно решением уравнения будет х= -2

4.a

Решая и рассуждая по аналогии с заданием 4., получаем ответ х=2

1) Преобразуем первое неравенство
12- х  >  25x² +10x + 1 - 25x²
12 - x >  10x + 1
11x < 11
x < 1

2) Преобразуем второе неравенство
-2x > x - 3(6x + 1)
-2x > x - 18x - 3
15x > - 3
x > - 1/5
x >  - 0,2

3) Ну а теперь мы сразу можем записать ответ:

- 0,2 < x < 1     или  х € ( - 0,2 ; 1 ]

6. В равнобедренной трапеции KLMN с основаниями KN и LM (KN > LM) диагональ КМ перпендикулярна боковой стороне и КМ = 8 √ 3 см, величина угла при основании 60°. Вычисли площадь трапеции.

1) Начнем с чертежа.

2) А теперь начнем с конца. Площадь нашей трапеции будет равна

(LM+KN)*MP/2

3) KN можно найти довольно просто. KN - гипотенуза /\ KMN.

KM/KN = sin 60 ^o , (sin 60 ^o=  \/ 3 / 2 )     откуда
KN = KM /sin 60 ^o = KM*2 / \/ 3 = 8 √ 3 * 2 / √ 3 = 16 см          KN=16 см

4) Попробуем найти высоту трапеции MP.
Рассмотрим прямоугольный треугольник KMN. Если / KNM = 60 ^o , то  / MKN = 30 ^o(треугольник- прямоугольный - по условию)

А теперь рассмотрим треугольник KPM. Он прямоугольный, так как MP - высота. Но в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30^oравен половине гипотенузы. Следовательно MP =8 √ 3 /2 = 4√ 3  MP=4√3

Осталось найти LM ? Дальнейшее решение может идти разными путями.

РЕШЕНИЕ 1.

5.1) LM = KN/2  Почему? Сейчас докажем.

Что представляет собой наша трапеция KLMN? Да это просто бывший равносторонний треугольник , у которого (если по - вашему ) "крышу снесло"

Но тогда, KM не только высота, проведенная к боковой стороне равностороннего треугольника, а также и медиана. Но если KM - медиана, то в точке М она делит сторону треугольника пополам. И если из этой точки М проведена в треугольнике линия (LM) параллельная основанию(KN) , то это -  средняя линия треугольника. Но, если LM -  средняя линия треугольника, то она равна половине основания KN. Следовательно LM = KN/2 = 16/2 = 8 (см).
LM = 8 см

--------------------

РЕШЕНИЕ 2.

5.2) Проведем вторую высоту LP' трапеции KLMN

Тогда LM = PP' = KN - KP' - PN ,  но KP' = PN, так как трапеция равнобедренная. Следовательно LM  = KN -2 PN

Найдем PN :  PN = MP / tg 60° = 4√3 /√3 = 4

Следовательно LM = KN -2 PN  = 16 - 2*4 = 8   LM = 8 см

-----------------

Каким бы путем мы ни шли,  дальше:

6) Находим площадь трапеции.

S _KLMN = (LM+KN)*MP/2= (16+8)*4√3 /2 = 48√3 см²

Ответ:    S _KLMN = 48√3 см²

7.На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены соответственно точки М и N так, что ВМ : МС = 3 : 2 и CN : ND = 3 : 2. Отрезки AM и BN пересекаются в точке О.

1) Определи величину угла AON.

1) /\ ABM = /\BCN  (по двум катетам)

2) Из равенства треугольников следует, что /  BAМ = /  СВN

Но сторона АВ угла /  BAМ  перпендикулярна стороне ВС угла /  СВN, следовательно должны быть взаимно перпендикулярны и стороны АМ и BN.

Таким образом / AON - прямой, т.е. равен 90^о

Отсюда следует, что ВО - высота прямоугольного треугольника АВМ, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.

2) Чему равно отношение площадей треугольников ВОМ и BCN, если длина стороны квадрата 5 см?

Если сторона квадрата равна 5 см, то совершенно ясно, что BM = 3см, MC=2см, CN=3см, ND=2см.

С учетом равенства /\ ABM = /\BCN , мы ответим на вопрос задачи, если найдем соотношение площадей /\ BОM и /\АВМ

а) Площадь треугольника BОM:          S_BOM = BO*OM/2

b)Площадь треугольника АВМ:            S_ABM = BO*AM/2

c)Отношение площадей: S_BOM / S_ABM = BO*OM / BO*AM = OM / AM  (1)

d) Из метрических соотношений между элементами прямоугольного треугольника следует:

BM / AM = OM / BM , откуда  ОМ = ВМ² / AM   (2)

e) Подставляя выражение для ОМ из (2) в соотношение (1), получаем

S_BOM / S_ABM   = ВМ² / AM ²

f) BM² = 9 ;  AM² = AB² + BM² = 25 + 9 = 34

g) Следовательно S_BOM / S_ABM   =  9 / 34 = S_BOM / S_BCN

8.Парабола у = ах²+bх + с проходит через точку (0; 15). Координаты вершины параболы x_о= 4; у_о= - 1. Определи значения коэффициентов а, b и с и нарисуй график полученной функции.

Проанализируем задачу:

1) Даны две точки:  1)  (0;15) и 2) координаты вершины (4; -1)
2) Через вершину параллельно оси у проходит ось симметрии параболы.
3) относительно оси семметрии найдем еще одну точку.
Ее координаты (8; 15)

Подставляем значения в уравнение параболы у = ах²+bх + с.

а) Точка (0;15)     15 = 0 + 0 + с

с = 15

б)Точка (4; -1 )   -1 = 16а + 4b + 15 ; после преобразований уравнение приобретает вид:

4a + b + 4 = 0            (1)

в) Точка (8;15) 15 = 64a + 8b + 15 после преобразований уравнение приобретает вид:

b = - 8a                 (2)

Подставим в (1) вместо b его выражение из (2)

4a - 8a + 4 = 0

a = 1

Из (2)

b = - 8

Следовательно, уравнение параболы

y = x² - 8x + 15

График функции.