ЧАСТЬ 2

1. Решить уравнение  log3(x - 2) + log3x = l
(6 пунктов)

 

a) логарифм произведения (по какому угодно основанию) равен сумме логарифмов сомножителей (взятых по тому же основанию). Следовательно, мы можем преобразовать наше уравнение к виду:

log3 x(x-2) = 1

b) Далее преобразуем уравнение по определению логарифма:

x(x-2) = 31

с) В результате получаем обычное квадратное уравнение, которое и решаем:

х2 - 2х = 3
х2 - 2х -3 = 0

d) Получаем два корня: х1 = 3 ;  х2 = -1 , но областью определения логарифмической функции являются лишь положительные числа. Значит корень х2 = -1 не может быть решением уравнения log3(x - 2) + log3x = l.

Остается один корень       х = 3

-----------------------------------------------------------------------------------------

2. Решить неравенство   
(6 пунктов)

Совершенно очевидно, что в первую очередь все следует привести к одному общему основанию 3:

 после преобразования степеней получим:

3(2х-3) < 35x

Основания одинаковы, значит далее можем рассматривать только степени.

2х - 3 < 5x
-3 < 5x - 2x
-3 < 3x
-1 < x    или х > -1

Следовательно неравенству будут удовлетворять  значения      х € (-1;∞)

--------------------------------------------------------------------------

3. Фирма за три дня заменила окна в многоэтажном доме. В первый день заменили 1/3 всех окон, во второй день заменили на 6 окон меньше, чем в первый день, а на третий день - 15 окон. Сколько окон заменила фирма  за три дня?
(4 пунктa)

 Примем за х  общее количество замененных окон

Тогда в первый день заменили х/3 окон
во второй день  х/3 - 6  окон
в третий день 15 окон
всего х окон

Составляем уравнение:

х/3 + х/3 - 6 + 15 = х

/3 + 9 = х

 9 = х - /3

9 = х/3

х = 9 • 3 = 27

х = 27

----------------------------------------------------------------------------------

4. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует угол 30° с плоскостью основания. Длина стороны основания равна 18 см.
Вычислить объём пирамиды.
(5 пунктов)

 

Для вычисления объема пирамиды мы должны найти площадь ее основания и высоту. Площадь (S) основания найти легко, ведь известно, что пирамида правильная четырехугольная, а значит в основании пирамиды - квадрат.

S = 18 * 18 = 324 cm2

Найдем высоту.

а)Проведем апофему АВ, соединим точку А с центром пирамиды, через который проходит высота h.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник  АВС.

АС = 18 : 2 = 9 см

/   BAC = 30o(по условию задачи боковая грань  образует угол 30° с плоскостью основания)

ВС =h = АС • tg 30o =   9• \/3/3 = 3\/3

Таким образом объем пирамиды:

V = S•h /3 = 324• 3\/3   / 3 = 324\/3  cm3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Решить систему уравнений.
(8 пунктов)

 a) Выразим у из второго уравнение и подставим это выражение в первое уравнение:

у = 12 - х

х2 - 2х(12-х) + (12-х)2 = 4

б) Раскрываем скобки:

х2  - 24х + 2х2 +144 - 24х + х2  - 4 = 0

в) Приводим подобные

4х2  - 48х + 140 = 0

г) Очевидно, что все члены уравнения можно сократить на 4 :

х2  - 12х + 35 = 0

д) Решаем квадратное уравнение:      х1,2 = 6 ± \/ 36 - 35

х1 = 7        у1 = 12 -7 = 5

х2 = 5        у2 = 12 -5 = 7

-----------------------------------------------------------------------------

6. Решить уравнение.
(5 пунктов)

 

Внимательно рассмотрите графики функций, и убедитесь, что

cos(π/2 + x) = sin (x)

Отсюда вытекает решение:

sin2 x - 2 sin x = 0

sin x (sin x - 2) = 0

Произведение равно нулю в том случае, если один из сомножителей равен нулю.

sin x = 0  при х =  0;  π ;  2π ... , т.е.            х = π n

(sin x - 2) никогда не обращается в 0, так как функция  sin x  никогда не превышает значения равного 1.

------------------------------------------------

7. При каких значениях m график функции у = (х + m)2-3 проходит через точку А(3; -2)? Построить графики с найденными значениями m.
(8 пунктов)

Задача сводится к тому, чтобы составить и решить уравнение относительно m

Нам дана точка А с координатами х = 3; у = - 2; Подставим эти значения в заданную нам функцию:

- 2 = (3 + m)2-3

-2 = 9 + 6m + m2 - 3

m2  + 6m + 8 = 0

m1,2 = -3 ± \/ 9-8

m1 = - 2;  m2 = - 4

Получаем две функции:

1) у = (х - 2)2-3
2) у = (х - 4)2-3

Для построения графика найдем точки

а) Вершина параболы :
(х - 2) = 0 --> х = 2 ; y = -3
(х - 4) = 0 --> х = 4 ; y = -3

б) Дальше по идее можно рассуждать так. Проведем ось симметрии параболы через точку вершины параллельно оси у. Ветви парабол пойдут вверх и их наклон будет точно соответствовать функции у = х2 так как коэффициент при х2 в наших функциях  равен +1. Вот и строим по клеточкам относительно оси симметрии, начиная от вершины обычный график:

х = 1клетка (влево-вправо от оси)  у = 1клетка (вверх);  х= 2 клетки у = 4 клетки;  х = 3 клетки у = 9 клеток и т.д.

_________________________________

8. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на полуокружности, а меньшая сторона прямоугольника лежит на диаметре. Отношение сторон прямоугольника равно 1 : 2 Найти площадь прямоугольника.
(7 пунктов)

1) Допустим, что АВ = а, тогда ВС = 2а  ОВ = а /2

2) Площадь прямоугольника будет равна  S = a * 2a = 2a2

3) Выразим а через данный нам радиус R:

по теореме Пифагора      R2 = a2 / 4 + 4a2 = 17a2 / 4
откуда а2 = 4R2 / 17

Cледовательно площадь прямоугольника S = 2a2 = 2* 4R2 / 17 = 8R2 / 17

---------------------------------------

 

 

Hosted by uCoz