Глава I.  

Лестница «на сколько»

  Арифметическая прогрессия

Рассмотрим следующий ряд чисел:

40, 43, 46, 49, 52, 55, 58,...

Нетрудно заметить, что каждое число этого ряда получается из предыдущего путём прибавления одного и того же числа 3. Такой ряд чисел называется, как мы знаем, арифметической прогрессией. Числа, входящие в ряд, называются членами прогрессии; постоянная прибавка — «разностью» прогрессии.

Приведём ещё пример. Ряд чисел

25, 29, 33, 37, 41, 45, 49,

— есть арифметическая прогрессия, — здесь первый член равен  25;   разность   прогрессии  равна   4.

Обычно члены прогрессии обозначаются буквами a1, a2, a3, ..., разность — буквой d.

В данном примере: a1= 25; a2 = 29; a3 = 33,...; d = 4; маленькая цифра справа внизу около буквы а указывает порядковый номер члена ряда.

В приведённых примерах каждое последующее число больше предыдущего; такая прогрессия называется возрастающей. Если же последующее число меньше предыдущего, то прогрессия называется убывающей. Например, ряд

50, 44, 38, 32, 26, 20, 14

есть убывающая арифметическая прогрессия. Здесь разность d — отрицательна, именно d = — 6.

Арифметическую прогрессию можно представить на чертеже (черт. 1).

черт. 1

Здесь каждый член прогрессии представлен прямоугольником. Пусть  ширина каждого прямоугольника равна 1 см; высоты прямоугольников равны последовательно 15 см, 19 см, 23 см, 27 см и т. д., площади этих прямоугольников будут равны соответственно 15 кв. см, 19 кв. см, 23 кв. см, 27 кв. см и т. д.

Арифметическую прогрессию можно назвать числовой лестницей «на сколько», так как каждый последующий член «на сколько-то единиц» больше предыдущего. В III главе настоящей книги будет рассмотрена прогрессия другого рода, лестница «во сколько». Изучение свойств этих двух прогрессий и их сопоставление поведёт нас к основной теме книги — к идее логарифма.

При рассмотрении арифметической прогрессии могут возникнуть следующие два основных  вопроса:

1) Как по первым нескольким членам прогрессии определить любой её член, например, а30?

2)  Как определить сумму  некоторого числа последовательных  членов прогрессии, например, сумму 30 членов?

Начнём с первого вопроса.

Пусть дана прогрессия 15, 19, 23, 27, 31,...  Требуется определить сразу 30-й член этой прогрессии.

Обратимся к нашему черт. 1; надо найти высоту 30-го столбика. Эту высоту найдём, если к высоте первого (основного) столбика прибавим высоту подъёма, который даётся 29 ступеньками,.ведущими от 1-го к 30-му столбику.

Подъём одной ступеньки в нашем примере равен 4см; подъём, образуемый 29 ступеньками, равен d • 29 = 4 • 29 = 116 см.

Поэтому высота 30-го столбика равна: 15 + 4 • 29 = 15 + 116= 131 см.

Таким образом: а30 = а1 + 4 • 29 = а1  + d • 29  или же

а30 = а1  + d (30 —1).

Если бы требовалось найти 20-й член прогрессии, то мы написали бы:

а20 = а1  + d (20 —1).

Для члена прогрессии с нумером п получаем:

аn = а1  + d (n —1).                   (1)

Приведём пример применения этой формулы.

     Завод сельскохозяйственных орудий выпустил в январе 800 машин. Затем он стал повышать свою продукцию каждый месяц на 25 машин. Сколько машин завод выпустил в декабре?

В данном случае а1 = 800;  d = 25;  n =12.

Согласно формуле, пишем:

а12 = а1 + d • 11;    а12 = 800 + 25 • 11 = 800 + 275 = 1075.

***

Перейдём ко второму вопросу — нахождению суммы членов прогрессии.

Пусть дана прогрессия 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49. Требуется найти сумму 7 членов этой прогрессии.

Для небольшого числа членов эту задачу можно было бы решить путём простого подсчёта. Но если бы требовалось найти сумму 700 членов, 7000 членов и т. д., то непосредственное сложение потребовало бы много времени. Желательно найти формулу, позволяющую решать такие задачи быстро и легко.

Чтобы получить эту формулу, обратимся к прежней модели.

черт.2

На черт.2 построена ступенчатая фигура для прогрессии 25, 29,33, 37, 41, 45, 49. Ширина каждого столбика равна 1 см; длина равна соответственно 25 см, 29 см и т. д. Очевидно, сумма членов прогрессии численно равна площади фигуры ACDB в квадратных сантиметрах. Построим ещё одну фигуру A1C1D1B1, в точности равную фигуре ACDB. Приложим фигуру A1C1D1B1  к фигуре ACDB так, как показано на чертеже пунктиром.

В результате получим прямоугольник АВА1В1 .

В этом прямоугольнике длина стороны  АВ1 равна  сумме AC + CB1 = AC + B1D1.
Ширина прямоугольника равна AB = 7 см.
Площадь прямоугольника АВ1А1В равна (АС + BD) • АВ;  но
АС численно равно первому члену прогрессии а1  = 25,
BD — последнему её члену аn  = 49;
основание же АВ численно равно числу членов прогрессии n = 7.
Поэтому получаем:

Площадь прямоугольника равна (25+ 49) •7 кв. ед.

Но так как площадь АСDВ равна половине прямоугольника, то отсюда заключаем:

или в общем виде:

                  (2)

Эта формула имеет весьма частые применения в различных отделах математики.

Простейшей арифметической прогрессией является ряд последовательных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6...,

называемый натуральным рядом. Для нахождения суммы этого ряда, взятого до некоторого числа п включительно, можно применить вышеуказанную формулу.

В этом случае а1 = 1,   аn = n , а потому:

       (3)

Например,

Мы дали вывод основной формулы (2) при помощи геометрической модели. Дадим теперь её вывод арифметическим путём.

Рассмотрим сначала сумму натуральных чисел от 1 до некоторого числа n —1, то есть сумму первых n —1 натуральных чисел; обозначим эту сумму буквой S:

S = l + 2  + 3 +  ... + (n3) + (n2) + (n — 1).

Подпишем под нашим рядом тот же ряд, но в обратном порядке:

S =      l        +       2     +      3       +  ...  + (n3) + (n2) + (n — 1),

S = (n1) + (n2) + (n3) +  ...  +     3        +     2      +        1.

Ясно, что сумма двух членов, один из которых подписан под другим, равна числу п, т. е. сумме первого и последнего членов ряда. Число таких пар равно числу членов исходного ряда, т. е. п — 1. Следовательно, сумма этих двух совершенно одинаковых рядов 2S равна п(п— 1), а сумма одного исходного ряда равна:

Просмотрев внимательно ход наших рассуждений, мы убедимся, что он повторяет слово в слово (правда, на другом языке — арифметическом) геометрический вывод, только что детально разобранный нами.

Те же рассуждения можно было бы повторить и для арифметического вывода формулы для суммы членов любой арифметической прогрессии с первым членом а1 , последним  аn  и разностью d. Но мы теперь достаточно подготовлены для того, чтобы понять и более формальный, но зато более короткий вывод. Обозначая сумму членов этой прогрессии снова  буквой S,  будем   иметь:

S = а1 + а2 + а3+...+ аn = а1  + (а1 + d) + ... + [а1+ ( n — 1 )d ]

(каждый член мы заменили его выражением через первый член и разность). Раскроем теперь все скобки и приведём подобные члены:

S = 1 + d [ l +2 + 3 +...+ (n — 1)].

Используя найденное нами  выражение для суммы ,  l +2 + 3 +...+ (n — 1), получим

Но мы уже видели, что а1+ d ( n — 1 ) равно последнеиу члену прогрессии, т. е.  аn.   Следовательно, в  конечном итоге получим:

— ту же формулу, которую мы получили геометрическим путём.

Выведем ещё одну специальную формулу, которая будет нам полезна в дальнейшем.

Пусть требуется найти сумму ряда:

1+2 + 3 +... + 18 + 19 + 20 +19 + 18+...+3 + 2 + 1.

] Можно было бы вычислить её по общей формуле, взяв два   раза   сумму   

1+2 + 3 +... + 18 + 19   

и  прибавив число 20. Но задачу можно решить короче, если заданный ряд чисел представить в виде двух строк:

1       2      3      4       5 ...  18    19
                                                         20
19    18    17    16    15 ...   2      1

Мы получим всего 20 столбцов; сумма чисел в каждом столбце равна 20 (последний столбец состоит из одного числа). Поэтому общая сумма равна 20•20 = 400. Это решение можно иллюстрировать чертежом (черт. 3).

черт. 3

На чертеже дана ступенчатая фигура; взято п = 8.

Площадь фигуры ABC в кв. см равна:

1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1.

Eсли  сделать разрез   вдоль прямой  NK, затем фигуру NKC повернуть и приложить зубцами к фигуре АВК, то получим  квадрат  АКВС1   со стороной,  равной  8 см.  Поэтому вышенаписанная сумма равна  82 = 64. Общая формула такова:

1+2 + 3 + ...+ ( n — 1 ) + n + ( n — 1 ) + ... + 3 + 2 + 1= n2               (4)

Hosted by uCoz