|
ГЛАВА IV. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ. 3. Формула для любого числа таблицы Тартальи (первый способ). Решим предварительно такую задачу. Требуется сложить сумму 1 • 2 •3 + 2 • 3 • 4 + 3 • 4 • 5+ ... (100 слагаемых). Последние слагаемые будут: 99 • 100 • 101; 100 • 101 • 102. Для нахождения суммы можно применить следующий весьма удобный приём. Сперва умножим все слагаемые на 4. Получим: 1 • 2 • 3 • 4 + 2 • 3 • 4 • 4 + 3 • 4 • 5 • 4 + 4 • 5 • 6 • 4 + ... +100 • 101 • 102 • 4. Такое увеличение всех слагаемых влечёт за собой и увеличение всей суммы в 4 раза; поэтому результат нового суммирования придётся потом разделить на 4. Новую сумму будем вычислять постепенно: сперва найдём сумму первых двух слагаемых; к полученному добавим третье слагаемое, затем добавим четвёртое и т. д. Складываем первые два слагаемых: 1 • 2 • 3 • 4 + 2 • 3 • 4 • 4 = 1(2 • 3 • 4) + (2 • 3 • 4) • 4 = (2 • 3 • 4) • 5 = 2 • 3 • 4 • 5. К полученному добавим третье слагаемое: 2 • 3 • 4 • 5 + 3 • 4 • 5 • 4 = 2(3 • 4 • 5)+ (3 • 4 • 5)• 4 = (3 • 4 • 5) • 6 = 3 • 4 • 5 • 6. К полученному добавим четвёртое слагаемое: 3 • 4 • 5 • 6 + 4 • 5 • 6 • 4 = 3 • (4 • 5 • 6) + (4 • 5 • 6) • 4 = (4 • 5 • 6) • 7 = 4 • 5 • 6 • 7. Итак, сумма первых четырёх слагаемых 1•2•3•4 + 2•3•4 4 + 3•4•5•4 + 4•5•6•4 = 4• (1•2•3 + 2•3•4 + 3•4•5 + 4•5•6) оказалась равной 4 • 5 • 6 • 7. Подметив закономерность суммирования, можно сразу написать, например, сумму первых двадцати слагаемых: 4•(1•2•3 + 2•3•4 + 3•4•5+... +19•20•21 + 20•21•22) = 20•21•22•23. Таким образом напишем сразу сумму первых 100 слагаемых: 4•(1•2•3 + 2•3•4 + 3•4•5+...+99•100•101 + 100•101•102)= 100 • 101 • 102 • 103. Для решения поставленной задачи остаётся полученный результат разделить на 4: получим В общем случае, для любого числа слагаемых результат решения задачи запишется так:
Следует отметить, что все слагаемые состоят из трёх множителей, а сумма содержит четыре множителя; кроме того, появляется множитель: 1/4 . Таким же способом может быть решена задача нахождения суммы слагаемых такого вида: 1•2•3•4 + 2•3•4•5 + 3•4•5•6 + 4•5•6•7 +... + n(n+1)(n + 2)(n + 3). В данном случае придётся все слагаемые предварительно умножить на 5. Решение может быть проведено в точности так же, как в предыдущем случае; в результате получится: 1/5 n(n+1)(n + 2)(n + 3)(n + 4). Вернёмся теперь к таблице Тартальи (в дальнейшем будем её называть таблицей Паскаля; такое название более употребительно). В первом столбце таблицы находятся числа 1, 2, 3, 4, ... Хотя мы знаем формулу для суммы чисел этого ряда, но можем её получить и только что указанным приёмом. Для этого надо предварительно умножить числа ряда на 2. Получим: 1•2 + 2•2 + 3•2 + 4•2 +...+ (n —1) • 2 + n • 2. Сумма первых двух слагаемых найдётся так: 1 • 2 + 2• 2 = 2•(1 + 2) = 2•3. Затем прибавляем третье слагаемое: 2• 3 + 3• 2 = 3• (2 + 2) = 3•4. Далее прибавляем четвёртое слагаемое: 3•4 + 4 •2 = 4• (3 + 2) = 4• 5. Поэтому сумма первых четырёх слагаемых: 1 •2 +2•2 + 3•2 + 4• 2 = 2(1+ 2 +3 + 4) = 4•5. Сумма первых л слагаемых окажется равной n(n+1). Для нахождения суммы основного ряда надо этот результат разделить на 2; получим:
Иначе это равенство можно записать так:
Но сумма, стоящая на левой стороне, согласно формуле (1), равна также Fп2. Отсюда получаем формулу:
Выведем теперь формулу для фигурного числа третьего порядка, т. е. Fп3. Как известно, Fп3 = F12 + F22 + F32 +...+ Fn—12 + Fп2 Для фигурных чисел Fm2 второго порядка мы только что получили формулу:
Вынося множитель 1/2 за скобки, получим: Fп3= 1/2[1•2 + 2•3 + 3•4 + 4•5+... + п(п+1)]. Но слагаемые, стоящие внутри скобки, мы умеем суммировать:
Отсюда следует, что фигурное число третьего порядка выражается формулой:
Для симметрии можно написать:
Теперь уже нетрудно написать формулу для фигурного числа четвёртого порядка:
Самая общая формула для фигурного числа имеет вид:
Именно эту формулу сообщал Ферма в письме другу в 1636 г. Дадим теперь геометрическую иллюстрацию к изложенному способу суммирования произведений последовательных чисел натурального ряда. Пусть требуется сложить числа первого порядка, т. е. числа 1 + 2 + 3 + 4 + 5+... ...+ п. Эти числа можно представить прямоугольниками, длина которых равна 1 см, 2 см, 3 см, ..., п см, а ширина 1 см. Площади (черт. 38) прямоугольников будут равны тем же фигурным числам первого порядка: 1 • 1 кв. см = 1 кв. см, Условимся повсюду указывать сперва длину, затем ширину. Согласно вышеизложенному способу удвоим ширину всех этих прямоугольников, т. е. сделаем ее равной 2 см. Теперь приступаем к последовательному сложению их площадей (черт. 38).
Сумму площадей первых двух прямоугольников получим, приставив второй из них справа к первому; получится прямоугольник площадью в 2 х 3 кв. см; эту площадь обозначим через S2. К полученному прямоугольнику приставляем снизу третий прямоугольник; в результате получится новый прямоугольник площадью в 3x4 кв.см; обозначим его величину через S3. К полученной фигуре приставляем справа четвёртый прямоугольник, предварительно опрокинув его так, чтобы основанием служила сторона, равная 2 см. В результате получим прямоугольную фигуру размером 5x4 кв. см; эту величину обозначим через S4. Такой процесс последовательного прикладывания справа и снизу новых прямоугольников можно продолжать как угодно далеко. Нетрудно видеть, что, например, сумма 10 прямоугольников представит собой прямоугольник с площадью S10 =11• 10 кв.см (черт. 38). Отсюда следует, что сумма 2 • (1+2 + 3 + ... + 10) = 10 • 11, или же в общем виде: 2 • (1 +2 + 3+ .. . + п) = п(п+1); разделив обе части равенства на 2, получим
Перейдём к суммированию фигурных чисел второго порядка: их сумма есть Мы отбросим пока множитель 1/2 ; впоследствии мы его учтём. Возьмём прямоугольные параллелепипеды (коробочки), размеры которых указаны в следующей таблице:
Объёмы этих коробочек в кубических сантиметрах выражаются произведениями 1 • 2, 2 • 3, 3 • 4, ... куб. см. Увеличим высоту всех коробочек в 3 раза. Получим коробочки таких размеров:
Объёмы этих новых коробочек можно суммировать тем же приёмом, каким мы раньше суммировали площади прямоугольников.
Складываем первую и вторую коробочки. Для этого опрокидываем вторую коробочку так, чтобы её размеры по «порядку» были: 3 x 2 x 3 куб. см. Приставляем её справа к первой коробочке (черт. 39). Тогда из двух коробочек образуется одна коробка, длина которой будет равна 1 +3 = 4 см и в сумме получим коробку, объём которой V2 = 4 x 2 x 3 куб. см. К полученной коробке прибавим третью коробку. С этой целью опрокинем её так, чтобы её размеры по порядку были 4•3•3 куб. см. Приставим эту коробку к предыдущей коробке так, чтобы грани в 3•4 кв.см у них слились. Тогда из них сложится новая коробка, объём которой V3 = 4•2•3 + +4•3•3 = 4• (2 + 3) • 3 = 4•5•3 куб. см. Так будем продолжать дальше. Наибольшей по размеру стороной у вновь образующихся коробок будут по очереди: длина, ширина, высота; длина, ширина, высота и т. д. В результате складывания получим коробку с объёмом, равным произведению п(п+ 1)(п +2) куб. см (порядок множителей может быть иным,— это не имеет значения). Искомую сумму фигурных чисел Fm2 получим, разделиврезультат на 3 и умножив ещё на множитель 1/2: получим Дальше итти геометрическим путём мы не можем, так как такой же приём для суммирования чисел Fm3 требовал бы четвёртого измерения. Доказав формулу Ферма, мы могли бы перейти к разрешению вопроса, поставленного в начале главы, к нахождению сумм Σk Однако мы сделаем отступление в сторону, а именно: покажем, как совершенно иным путём пришёл Паскаль к той же самой формуле для фигурных чисел Fnk. |
.
. Поэтому Fп3 можно представить в виде суммы:
то и есть значение Fn2.