|
ГЛАВА V. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ? 3. Идея Непера. Прежде чем перейти к рассмотрению «точных» таблиц, представим графически связь обеих прогрессий, которые заданы таблицами типа Бюрги или Непера. На черт. 40 слева ординаты представляют собой последовательные члены у, геометрической прогрессии, а ординаты на черт. 41— соответствующие члены арифметической прогрессии.
Раньше мы рассматривали эти ряды чисел отвлечённо, чисто арифметически. Теперь будем представлять себе, что вдоль горизонтальной оси откладывается время (например, в часах), а по вертикальной—длина пройденного расстояния (например, в метрах). Рассматривая прогрессию 1, 1 + 1/100 , ( 1 + 1/100 )2, ( 1 + 1/100 )3, ... , ( 1 + 1/100 )m, ( 1 + 1/100 )m+1, положим расстояния между соседними ординатами, т. е. приращения Δ t, равными 1/100 единицы времени (часа). Основная взаимосвязь обоих рядов, которой мы пользовались выше, на нашем графике означает следующее. Умножению двух ординат у1 • у2 = у3 на черт. 40 соответствует сложение двух ординат х1 + х2 = х3 на черт. 41. Теперь обратимся к черт. 42, где изображена прогрессия такого же типа, как на черт. 40, но деления Δ t на горизонтальной оси взяты более мелкими (например, меньшими в 4 раза).
Если мысленно представить себе ряд дальнейших графиков геометрического ряда, в котором деления Δ t становятся все меньше и меньше, то ступенчатая линия будет как бы сглаживаться, приближаться к некоторой гладкой кривой линии. В конце концов (в пределе) должна получиться идеально гладкая пиния (этого положения мы не доказываем, так как доказательство было бы слишком сложным). Непер брал весьма мелкие деления Δ t = 1/107 , но это его не вполне удовлетворяло. Он упорно стремился найти такую идеально гладкую кривую, которая давала бы возможность производить абсолютно точные вычисления. Задержимся ещё немного на рассмотрении ступенчатого графика. Этот график обладает важными свойствами, которые мы определим несколько ниже. Соединим верхние концы соседних ординат прямолинейными отрезками; на языке механики это будет означать, что на каждом малом промежутке времени Δ t движение является равномерным. Теперь можно поставить вопрос: по какому закону изменяется скорость рассматриваемого движения? В самом начале движения скорость равна
1; угол наклона первого прямолинейного отрезка составляет 45° с горизонталью. Так как при значении *) Т. е. тангенс угла, образованного этим отрезком с горизонтальным направлением (направлением оси Ох). И вообще, если из двух каких-либо ординат у1 и у2 вторая в несколько раз больше первой, например, в 3 раза, то и наклон исходящего от неё отрезка будет в 3 раза больше. На языке механики это означает, что скорость движения в момент х2 = t2 в 3 раза больше, чем скорость движения в момент х1 = t1. Но ордината означает длину пройденного пути. Поэтому наше «кусочно-равномерное» движение обладает следующим свойством. Если в момент t2 длина пути s2 в несколько раз больше, чем длина пути s1 в момент t1, то и скорость v2 в момент t2 во столько же раз больше скорости v1 в момент t1, Отсюда мы приходим к важнейшему свойству движения, представленного нашим графиком: 1-е свойство. Скорость кусочно-равномерного движения, изображённого на черт. 40, изменяется пропорционально длине пройденного пути. Это свойство можно записать следующей формулой v = ks, где k — коэффициент пропорциональности. П р им е ч а н и е. При нашем построении коэффициент k равен 1, т. е. получается, что скорость v численно равна длине пути s. Однако следует помнить, что поскольку наш график не является гладкой линией, то указанная закономерность, даже при весьма мелких долях Δ t, относится всё-таки к отдельным моментам времени, где начинаются промежутки Δ t. Ниже мы перейдём к идеально гладкой кривой, причём основным требованием будет сохранение свойства 1-го для любого момента, т. е. в течение всего процесса движения. Покуда же мы имеем скачкообразное изменение скорости, наподобие передвижения минутной стрелки на больших городских часах. 2-е свойство. Если взять на горизонтальной оси Ot группу соседних делений Δ t, например, группу с нумерами 30 — 50, или 40 — 60, или 70—90, то увеличение ординаты за такой соединённый интервал времени: у30—>у50 ; у40—>у60 ; у70—> у90 и т. д., т. е. величина отношения Поясним это численным примером. Согласно нашей таблице типа Бюрги имеем для 17 делений приближённо: ( 1 + 1/100 )17 = 1,3. Это означает, что если мы от какой-либо ординаты, например, у1 = 2, отодвинемся вправо на 17 делений, то придём к ординате у2, равной 2,6 ед. Если исходить от ординаты у3 = 5 ед., то через 17 делений придём к ординате у4 = 6,5ед. и т. д. Итак, при постоянной длине перемещения вдоль оси Ох, или Ot, кратное отношение ординат сохраняется: ( y крайняя : y начальная) = const. * ). *) Const.—начало латинского слова constans (констанс), что знчит «постоянная» (величина). 3-е свойство. Обратимся ещё раз к черт. 41, где представлен равномерный рост арифметической прогрессии, начиная от нулевого значения. Здесь предполагаемый переход от ступенчатой линии к плавной получается сам собой, если соединить концы ординат: прямая линия и есть гладкая. У нас взят для простоты угол наклона в 45°, так что ордината х численно равна абсциссе t (равномерное движение со скоростью 1 м/час). Как уже неоднократно говорилось, связь обеих прогрессий заключается в том, что умножение каких-либо двух ординат у1 • у2 для моментов t1 и t2 графика на черт. 40 сопровождается сложением ординат х1+ х2 для тех же моментов графика на черт. 41, т. е.
Сделаем теперь следующее замечание. На черт. 40 и 41 представлены две «лестницы». Но что касается черт. 41, то на нём ордината всё время остаётся численно равной абсциссе, т. е. постоянно длина пути s = x равна времени t. А потому, хотя мы принципиально и исходим из сопоставления двух прогрессий, можно сэкономить в чертежах, а именно, отказяться от черт. 41 и заменить его абсциссой черт. 40. Таким образом черт. 40 будет заключать в себе обе прогрессии, причём арифметическая будет представлена абсциссой, а геометрическая — ординатой. Пусть теперь имеется график типа черт. 40 с чрезвычайно мелкими делениями Δ t, так что на-глаз он неощутимо отличается от предполагаемой идеально гладкой кривой, к которой мы стремимся. Исходя из вышеизложенного, мы приходим к следующему определению логарифма, которое впервые было введено в математику Непером. В таком графике логарифмом данного числа — ординаты у — служит абсцисса x; или же: логарифм пройденного пути s есть протекшее время t : log s = t. Но Непер в своём определении логарифма пошёл дальше этого, а именно, он пользуется уже представлением идеально гладкой кривой, или же, на языке механики, движением с плавно изменяющейся скоростью. Именно в этом переходе к пределу заключается главная идея Непера. Надо иметь в виду, что во времена Непера ещё не существовало анализа бесконечно-малых. Этот анализ был дан позднее; ещё позднее, на основе анализа бесконечно-малых, развилось понятие дифференциального уравнения. Непер же ещё в 1614 г. в своей книге вводит понятие о логарифме, исходя по существу из дифференциального уравнения. Перейдём теперь непосредственно к изложению теории Непера, несколько видоизменив её для удобства изложения. Рассмотрим движение лодки, приближающейся к берегу, причём скорость лодки постоянно меняемся и определяется специальным законом.
Чтобы твёрдо усвоить себе этот специальный закон движения, представим себе, что у лодочника имеется дальномер, автоматически показывающий длину оставшегося расстояния до берега, и что показание стрелки дальномера автоматически передаётся тормозному колесу, регулирующему скорость. Движение, задуманное Непером, должно быть таковым, чтобы составленные для него график пути и график скорости совпадали. Интересно отметить, чти при указанном законе движения лодочник никогда не достигнет берега: он может проездить всю свою жизнь, и ему всегда «остаётся ехать ещё 1 час». Движение по этому специальному закону мы будем в дальнейшем для сокращения называть «движением Непера». Ввиду трудности усвоения новой идеи, мы дадим здесь графическое изображение этого движения, но следует подчеркнуть, что во времена Непера ещё никто не пользовался методом координат (он введён позднее Декартом), что в те времена идея функциональной зависимости двух переменных была ещё мало распространена даже в среде учёных-математиков. Но конкретно поставленная задача — из связи двух рядов чисел создать новый, совершенно точный, инструмент счёта — воздействовала на мысль Непера так, что он невольно вышел за рамки старой, неподвижной, математики и рванулся далеко вперёд к той новой, уже диалектической, математике, которая через 200 лет была оформлена и сейчас преподаётся студентам под названием «Теория дифференциальных уравнений». Закон движения, придуманный Непером, в настоящее время без труда может быть уяснён всякому школьнику, если пользоваться графиком движения (см. черт. 44). Если движение равномерное, то скорость движения, как известно, на графике представляется тангенсом (tg) угла наклона прямой линии, т. е. тангенсом угла, образованного данной прямой и направлением оси Ох. Если же движение - неравномерное и, следовательно, графиком его служит кривая линия, то мгновенная скорость его представляется как тангенс угла наклона касательной в соответствующей точке графика. При этом берётся угол, составляемый с осью Ох (или Ot) и отсчитываемый против движения часовой стрелки. Если расстояние от начальной точки уменьшается, как в случае нашего лодочника, то угол будет отрицательным, и его следует брать от оси Ox = Ot по часовой стрелке. На нашем графике мы имеем ряд стрелок-касательных Таким образом, для каждой точки М кривой графика, или же для каждого момента движения, имеет место равенство tg / hMF = длине РМ, т. е. tg α = y, или же скорость v = длине пути s; v (t) = s. Ещё раз подчёркиваем, что указанное равенство имеет место в любой точке кривой графика на всём её протяжении, подобно тому, как наш лодочник должен всё время следить за дальномером и поворачивать колесо скоростей. Вышеуказанное правило движения — «лодочнику всегда остаётся ехать в течение одного часа» на нашем графике означает, что отрезки PQ, P1Q1, P2Q2, ... все равны 1 (Qi означает точку пересечения касательной с осью Ox=Ot). Поясним это свойство геометрически. В прямоугольном треугольнике MPQ катет PQ равен катету РМ, умноженному на ctg α, т. e. PQ = PM • ctg α; или PQ = y • ctg α = y/tg α. Но по основному закону: tg α = y; откуда PQ = 1 = const. Самое остроумное в изобретении Непера заключается в том, что «движение Непера» в его время ещё не было известно, или, говоря геометрическим языком, никто раньше не видел и не предполагал существования кривой линии (графика), обладающей такими свойствами. Здесь не решалась частная задача: для такой-то данной линии доказать такое-то свойство, или найти новое свойство, исследовать её. Здесь наоборот, требовалось придумать, как бы создать, «новую» линию, исходя из такого-то свойства касательной в каждой точке этой «предполагаемой» линии. Эта новая постановка вопроса —составить функцию, исходя из дифференциального уравнения, имела огромное значение и в самой математике, и в её приложениях к естествознанию. И решение проблемы удалось Неперу именно потому, что он исходил из вполне конкретной задачи и подходил к ней с вполне определённой целью — сделать геометрическую прогрессию непрерывно изменяющейся. Читатель может подумать, что кривая линия Непера прилагается только к вычислению логарифмов. Однако это не так: кривая Непера имеет широкое применение в технических науках; в электротехнике, теплотехнике и т. д. Приведём пример. Если поместить горячее тело, положим, кастрюлю с кипятком, в холодное помещение, например в сарай, где температура у° посюянно равна нулю, то тело будет охлаждаться. Нетрудно сообразить, что процесс охлаждения происходит не всё время одинаково быстро; если, например, в начале температура тела была 80°, а через некоторое время 20°, то отдача тепла в начальный момент происходит быстрее, чем во второй. Зависимость скорости отдачи тепла от разности температур тела и среды весьма сложна. Но предположим, как первое приближение, что между указанными величинами, т. е. разностью температур (у°—0) и скоростью отдачи тепла Δy/Δt *), имеет место прямая пропорциональность, т. е. Δy/Δt = — ky *) Δ (дельта) не есть множитель; это знак разности, т. е. знак, указывающий, что берётся разность двух значений переменной величины: где k —коэффициент пропорциональности, а знак (—) указывает на убывание температуры у. Если произвести опыт с охлаждением и результаты опыта записать графически, то окажется, что линия графика имеет такой же вид, как наш график движения Непера. И здесь переменный наклон касательной пропорционален ординате. Следовательно, закон изменения температуры будет таким же, как и в «движении Непера», график охлаждения горячей кастрюли изображён па черт. 45.
Введём некоторое, не очень существенное, видоизменение нашего графика. Будем рассматривать движение материальной точки (лодки или шарика) не к нулевой точке пути, а наоборот, от неё, начиная с точки, находящейся на расстоянии s0 = 1 от нулевой, и далее в том же направлении. В остальном закон движения остаётся прежним, т. е. скорость в любой момент численно равна величине пройденного пути. Кривая (график) при этом остаётся прежней, но расположена она будет иначе: при возрастании времени t расстояние от нулевой точки будет увеличиваться, т. е. при движении по оси абсцисс вправо, ординаты будут возрастать (черт. 46).
Нетрудно видеть, что прежний чертёж (черт. 44) представляет собой левую часть нового (черт. 46), рассматриваемого в обратном направлении, т. е. если от нуля (точки О на оси Ох) вести отсчёт времени в отрицательную сторону (влево). В дальнейшем изложении будем придерживаться этой последней схемы. Если допустить, что «кривая Непера», или график «движения Непера», уже имеется, то, изменив соответствующим образом его масштабы, можно будет пользоваться этой кривой для практического нахождения логарифмов чисел. Например, чтобы найти log 3, откладываем на оси Оу отрезок, равный 3 ед.; через конец его проводим параллель до встречи с графиком и из полученной точки пересечения N проводим вертикаль до встречи с осью Ox=Ot в некоторой точке Q; тогда длина OQ = x равна log y. Но как построить такую кривую? Как это часто бывает в математике, мы делаем допущение, что кривая уже имеется, и выводим из этого факта дальнейшие следствия. В результате будет получен ряд формул, по которым можно будет производить точные расчёты, а проводя рассуждения обратным путём, точно построить саму кривую. Ещё раз обращаем внимание читателя на то, что до Непера такой функции — называемой теперь логарифмом—не было известно. Чтобы пояснить сущность открытия логарифмов Непера, приведём аналогию. Вообразим на минуту (хоть это не реально), что ни один человек не видел окружности, а знал бы только правильные многоугольники и то свойство их, что перпендикуляры в их серединах всегда пересекаются в одной точке (О). Затем явился бы учёный и сказал: «Вообразите такую кривую,что при движении вдоль неё материальной точки направление движения (стрелка касательной) постоянно составляет прямой угол с отрезком ОМ, соединяющим эту точку с некоторой постоянной точкой (О) внутри кривой». Построенная по этому принципу кривая оказалась бы «нашей» обычной окружностью, но получена она была бы, исходя не из наглядных представлений, но из чисто теоретических соображений. При построении графика движения Непера мы осуществляем идею такого же рода. При этом получается новая кривая с особыми свойствами. Эта кривая оказалась необычайно полезной. В ней поразительно сочетаются глубокая идея с прекрасным средством техники вычислений. Выше мы рассматривали два свойства, вытекающих из сопоставления двух прогрессий. Перейдём теперь к неперовой кривой. Первое её свойство, характеризующее быстроту возрастания кусочно-прямолинейной линии, не придётся теперь выводить: оно лежит в существе новой кривой и служит принципом её построения. Второе её свойство —при равных перемещениях по горизонтальной оси отношение крайних ординат справа и слева остаётся постоянным — здесь также сохраняется. Покажем это, не входя в детальное и строгое доказательство. При этом будем пользоваться понятиями механики. Пусть в некоторый момент времени t = t1 (нет необходимости знать его величину) шарик в движении Непера достиг точки, находящейся на расстоянии 1,3 ед. от нулевой точки. Напомним, что в начальный момент t = 0 расстояние s = l. На графике (черт. 47) положение в этот момент t1 показано точкой M1, где P1M1 = 1,3.
Пусть, кроме того, известно, что в момент t = t2 шарик в движении Непера оказался на дистанции 4 ед. от начальной точки. На графике его положение показано точкой М2, где Р2М2 = 4. Дадим шарику двигаться дальше ещё в течение t1 единиц времени. Какова будет конечная, достигнутая шариком дистанция P3M3? По существу эта задача не отличается от вышерассмотренной. Раньше , в случае ступенчатого или кусочно-прямолинейного графика при равных промежутках возрастание «во сколько» оставалось постоянным. Допуская, что при мельчайшем дроблении, т. е. при Δt —> 0, кусочно-прямолинейная ломаная плавным образом переходит в гладкую кривую Непера, естественно предположить, что указанное свойство остаётся в силе. Это означает следующее: если дистанция за первые t1, часа изменилась с 1 м на 1,3.м, то за такой же интервал времени t1, начиная с момента t = t1 дистанция s = 4 должна возрасти в том же отношении, т. е. должна иметь место пропорция 1:1,3 = 4 : s3; откуда s3 = 4•1,3 = 5,2. Пропорция эта выглядит так:
Полученный результат можно пояснить ещё так. Закон движения единообразен: пройдя дистанцию, равную 4 м, шарик, начиная от момента t = t1, продолжает движение с мгновенной скоростью 4 м/час так же, как в начальный момент, начиная с дистанции s=l м, шарик движется со скоростью 1 м/час. Во втором случае происходит как-бы увеличение масштаба (соответственно дистанции), но характер возрастания длины пути остается прежним. Поэтому и расстояние, пройденное за интервал времени от t = t2 до t = t2 + t1 будет также в 1,3 раза больше. Итак, длина ординаты P3M3 с абсциссой t3 = t2 + t1 равна произведению ординат Если у1 • у2 = у3 или s1 • s2= s3, то параллельно с этим x1 + x2 = x3 или же t1 + t2 = t3- Мы узнаём основное свойство логарифмов. Примечание: Самое слово «логарифм» — греческое. Оно составлено из двух слов: logos—отношение и arithmos — число. Логарифм есть таким образом «число, измеряющее отношение». Всякой паре чисел y2 : y1 = y4 : y3 = y6 : y5 = ... = k, имеющей равное отношение, отвечает одно и то же число log k. На графике—«кривой Непера» — каждая пара ординат, имеющих данное отношение (например, 1,3:1), отстоит друг от друга на одно и то же расстояние, считаемое по горизонтали, по оси Ox=Ot; в этом случае:
Теперь мы можем разъяснить (см. § 2), каким образом Непер в своём труде выбрал число, соответствующее первому, после нулевого, члену геометрического ряда Он рассуждал так. Если примем, что скорость будет оставаться постоянной и равной начальной, то времени для прохождения первого интервала пути понадобилось бы меньше, чем уходит фактически. Если же принять, что скорость постоянно равна мгновенной скорости в конце этого интервала (конечной скорости), то времени понадобилось бы больше, чем фактически. Непер высчитывает и ту и другую величину времени, а затем берёт среднее между ними. Согласно принципу движения Непера, имеет место пропорция:
Eсли начальную скорость принять за единицу, то для прохождения первой единицы расстояния понадобится количество времени α, удовлетворяющее неравенству:
Последняя дробь может быть представлена как сумма геометрической прогрессии. Тогда получим неравенство! 1 < α < l + 10 —7 + (10 —7)2 + (10 —7)3 +..., откуда 1 < α < l,000 000 1 000 0001. Непер берёт число, среднее между границами, т. е. принимает приближённо: α =1,000 000 50. В настоящее время можно, пользуясь «ключом» Меркатора (см. следующую главу), определить быстро α с любой степенью точности. Тогда окажется, что значение α, принятое Непером, точно до 14-го десятичного знака. Такая точность является достаточной, чтобы обеспечить в таблицах, построенных Непером, 7 правильных цифр. И если таблицы Непера оказались не вполне правильными (в последнем знаке), то причиной тому была не теоретическая ошибка, а техническая ошибка в вычислениях. Аналогично вычислению α, Непер пользуется интерполяцией *) для нахождения логарифма «круглого» числа, когда ему известен логарифм числа, близкого к круглому.
*) Интерполяцией называется вычисление промежуточных значений величины, некоторые значения которой даны в таблице. Простейшими наиболее распространённым видом интерполяций является интерполяция при помощи пропорции.
Отметим, что у Непера при убывании числа у логарифм х возрастает. Для интерполяции Непер пользуется неравенством:
здесь Δ (log n1) означает приращение логарифма, т. е. разность log n1 — log n2. Поэтому, когда в конце 1-ой вспомогательной таблицы (см. выше) Непер получил: log 9 999 900, 000 4950 = 100,000 0050, и ему потребовалось определить логарифм весьма близкого «круглого» числа n1 = 9 999 900; n2 = 9 999 900,000 4950, чтобы получить искомую поправку (приращение) логарифма: log n1 — log n2 = Δ(log n2) = 0,000 49500495; отсюда Непер получил: log 9 99900 = 100,0005 0000 495. Без этого результата Непер не мог бы составить следующей вспомогательной таблицы, где требовалось значение log (1 —10 —5).
|
остаётся постоянной.
, и пусть они составляют с горизонталью углы /
hMF, /
h1M1F1, /
h2M2F2,. Тангенсы этих углов, т. е. tg α, tg α1, tg α2, дающие величину мгновенной скорости в моменты t, t1, t2, ... , в силу указанного специального закона движения, должны быть численно равны соответствующим ординатам РМ = у, Р1М1 = у1, Р2М2 = у2,
...
