ГЛАВА VI.
КЛЮЧ МЕРКАТОРА.
5. Чему равно число π
Мы воспользуемся результатами последнего параграфа, чтобы ответить на вопрос, интересующий миллионы школьников, изучающих геометрию, а именно — нельзя ли найти сколь угодно точное значение числа π?
Дело в том, что ответ на этот вопрос даётся рассуждением, совершенно аналогичным тому, которое мы делаем при выводе формулы Меркатора.
Число π определяем, как отношение площади круга радиуса R = 1 к площади квадрата со стороной, равной 1.
Или короче, π есть площадь круга при радиусе, равном 1. Очевидно, достаточно будет найти площадь четверти круга, так как, зная величину 1/4 π, можно узнать и искомое π.
Разделим отрезок касательной, равный 1, на п равных долей, например: п=10; п=100; п= 200 и т. д. Чем больше число делений п, тем результат ниже указываемого подсчёта будет точнее. Пусть одно из делений прямой АЕ (черт. 71) будет ММ'; концы отрезка ММ' соединим с центром О.
Проведя LT || АЕ образуем треугольник OLT, подобный треугольнику ОММ'. Примем здесь без доказательства, что при неограниченном возрастании числа n можно сектор OLL' заменить треугольником OLT; точнее: предел суммы малых треугольников OLT даёт в точности искомую площадь четверти круга.
По свойству подобных треугольников имеем:
откуда
Но площадь /\ ОММ' = 1/2(ММ') • высоту ОА = 1/2 •Δ х • 1 = Δx/2 Здесь Δ х означает величину малого приращения длины AM = х при переходе от точки М к точке М'. Отсюда получаем: .
Чтобы найти площадь четверти круга, мы должны взять удвоенную площадь сектора OAF, а потому, умножая полученное выражение на 2, будем иметь:
где суммирование долей Δ х идёт от нуля (точка А) до 1 (точка Е).
Точная величина 1/4 π есть предельное число, к которому приближается величина этой суммы при неограниченном возрастании числа п её слагаемых. Как в предыдущем параграфе, мы этот предел запишем в виде (интеграл по переменному х, где х изменяется от 0 до 1). Если начертить график функции ,то величину интеграла можно представить, как криволинейную площадь, ограниченную сверху графиком указанной функции. Здесь мы видим пример преобразования одной площади, четверти круга, в другую криволинейную площадь (черт. 72).
Вы шепроизведённая замена сектора OLL' треугольником OLT была неточной, но, переход к пределу (интегралу) ликвидировал эту неточность, и новая криволинейная площадь OEF1 в точности равна искомой площади четверти круга.
Как же найти величину новой криволинейной площади? Мы постараемся найти её косвенным путём, а именно, следуя приёму, применённому Меркатором. Нетрудно видеть, что дробь, стоящая под знаком интеграла, т. е. не отличается по форме от дроби 1/1+x, с которой мы имели дело выше. Там открытие Меркатора заключалось в том, что он заменил эту дробь геометрической прогрессией:
1/1+x = 1 — х + х2 — х3 + х4 — ...
Здесь мы поступим аналогично и напишем:
т. е. новую кривую линию заменим «алгебраической суммой» парабол чётной степени. И опять, как раньше, искомая площадь будет равна алгебраической сумме (точнее, пределу суммы) площадей «под» параболами:
у = 1, у = — х2 , у = х4, у = — х6,... и т. д.
Согласно основной формуле Валлиса, имеем:
Если верхняя граница «b» была бы меньше 1, то заключение было бы безукоризненно *).
*) Например, площадь нашей фигуры на интервале [0... 0,9] равна сумме ряда:
Но в нашей задаче b =1, и мы не можем написать равенства
Рамки настоящей книги не позволяют войти в обсуждение этого интереснейшего вопроса, но можно доказать (теорема Абеля), что и при переходе к значению b = 1, равенство остаётся правильным.
В случае b = 1, имеем:
Поэтому:
При этом, чем больше взять слагаемых, тем точнее будет результат. Но эта величина выражает площадь четверти круга, которую мы обозначим через 1/4 π. Отсюда получаем равенство:
1
Это равенство впервые было получено математиком и философом Лейбницем, и сообщено им в переписке Ньютону. Ньютон много раньше получил целый ряд аналогичных результатов, но случайная находка Лейбница закрепила за его именем этот ряд для числа π. Высчитывать число π по этой формуле было бы неудобно; для этого в настоящее время применяют другие ряды. Но в принципе мы получили возможность определить значение π с любой степенью точности.
|