МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.
Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.
Пусть AD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла А на гипотенузу ВС. Требуется доказать следующие три пропорции:
1.
2.
3.
Первую пропорцию мы докажем из подобия треугольников ABD и ADC. Эти треугольники подобны, потому что
/ 1 = / 4 и / 2 = / 3
как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Возьмём в /\ ABD те стороны BD и AD, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в /\ ADC будут AD и DC1, поэтому
BD : AD = AD : DC.
Вторую пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ABD. Эти треугольники подобны, потому что они прямоугольные и острый угол В у них общий. В /\ AВС возьмём те стороны ВС и А В, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в /\ABD будут АВ и BD; поэтому
ВС : АВ = АВ: BD.
Третью пропорцию докажем из подобия треугольников AВС и ADC. Эти треугольники подобны, потому что они оба прямоугольные и имеют общий острый угол С. В /\ AВС возьмём стороны ВС и АС; сходственными сторонами в /\ ADC будут АС и DC; поэтому
ВС : АС = АС : DC.
---------------------------------------------------------------------------------
1 Чтобы безошибочно определить, какие стороны взятых треугольников сходственны между собой, полезно держаться такого пути:
1) указать углы, против которых лежат взятые стороны одного треугольника;
2) найти равные им углы в другом треугольнике;
3) взять противолежащие им стороны.
Например, для треугольников ABD и ADC рассуждаем так: в треугольнике ABD стороны BD и AD лежат против углов 1 и 3; в треугольнике ADC этим углам равны 4 и 2; против них лежат стороны AD и DC. Значит, стороны AD и DC сходственны со сторонами BD и AD.
