8. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон треугольника является диаметром полуокружности. Другие стороны треугольника делят эту полуокружность на три дуги. Вычислить градусные меры этих дуг.

РЕШЕНИЕ 1.

1).Определим значение величины угла при основании равнобедренного треугольника АВС:

(180° - 40°) : 2 = 70°

2). Найдем центр полуокружности. Для этого разделим сторону ВС треугольника АВС пополам. ОВ=ОС= R

3) Соединим центр O с точками D и Е, в которых полуокружность пересекает стороны треугольника АВС:  

OD=OE=OB=OC=R

4) Рассмотрим треугольники DOC и EOB.

5) /\ DOC - равнобедренный (OD=OC=R). Угол при его основании равен 70° , следовательно угол DOC при вершине равен

180° - 2·70° = 40°

Но угол DOC - центральный угол полуокружности, следовательно градусная мера дуги DC также равна 40°

6) /\ EOB - равнобедренный (OE=OB=R).Угол при основании равен 40°,следовательно угол ЕOB при вершине равен

180° - 2·40° = 100°

Но угол ЕOB - центральный угол полуокружности, следовательно градусная мера дуги ЕВ также равна 100°

7) По условию дуга ВEDC - полуокружность, а следовательно ее градусная мера равна 180°. Градусные меры дуг DC и ЕВ нам известны, и теперь мы можем легко найти градусную меру дуги DE:

180°-100°- 40° = 40°

РЕШЕНИЕ 2.

1). Так же как и в РЕШЕНИИ 1 найдем угол при основании равнобедренного треугольника АВС.

2).Вписанный угол DCB = 70° опирается на дугу DEB .Следовательно дуга DEB = 140° или

      (1)

3).Вписанный угол EBC = 40° опирается на дугу CDE .Следовательно дуга CDE = 80° или

       (2)

4). Дуга BEDC - полуокружность, следовательно BEDC = 180° или

        (3)

5) Заменив в уравнении (3) соответствующие суммы дуг на их градусные меры из уравнений (1) и (2), получим:

,  откуда   

, откуда  

И наконец   , откуда