ЧАСТЬ 2
1. Решить уравнение log3(x - 2) + log3x = l
(6 пунктов)
a) логарифм произведения (по какому угодно основанию) равен сумме логарифмов сомножителей (взятых по тому же основанию). Следовательно, мы можем преобразовать наше уравнение к виду:
log3 x(x-2) = 1
b) Далее преобразуем уравнение по определению логарифма:
x(x-2) = 31
с) В результате получаем обычное квадратное уравнение, которое и решаем:
х2 - 2х = 3
х2 - 2х -3 = 0
d) Получаем два корня: х1 = 3 ; х2 = -1 , но областью определения логарифмической функции являются лишь положительные числа. Значит корень х2 = -1 не может быть решением уравнения log3(x - 2) + log3x = l.
Остается один корень х = 3
-----------------------------------------------------------------------------------------
2. Решить неравенство 
(6 пунктов)
Совершенно очевидно, что в первую очередь все следует привести к одному общему основанию 3:
после преобразования степеней получим:
3(2х-3) < 35x
Основания одинаковы, значит далее можем рассматривать только степени.
2х - 3 < 5x
-3 < 5x - 2x
-3 < 3x
-1 < x или х > -1
Следовательно неравенству будут удовлетворять значения х € (-1;∞)
--------------------------------------------------------------------------
3. Фирма за три дня заменила окна в многоэтажном доме. В первый день заменили 1/3 всех окон, во второй день заменили на 6 окон меньше, чем в первый день, а на третий день - 15 окон. Сколько окон заменила фирма за три дня?
(4 пунктa)
Примем за х общее количество замененных окон
Тогда в первый день заменили х/3 окон
во второй день х/3 - 6 окон
в третий день 15 окон
всего х окон
Составляем уравнение:
х/3 + х/3 - 6 + 15 = х
2х/3 + 9 = х
9 = х - 2х/3
9 = х/3
х = 9 • 3 = 27
х = 27
----------------------------------------------------------------------------------
4. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует угол 30° с плоскостью основания. Длина стороны основания равна 18 см.
Вычислить объём пирамиды.
(5 пунктов)
Для вычисления объема пирамиды мы должны найти площадь ее основания и высоту. Площадь (S) основания найти легко, ведь известно, что пирамида правильная четырехугольная, а значит в основании пирамиды - квадрат.
S = 18 * 18 = 324 cm2
Найдем высоту.
а)Проведем апофему АВ, соединим точку А с центром пирамиды, через который проходит высота h.
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.
АС = 18 : 2 = 9 см
/ BAC = 30o(по условию задачи боковая грань образует угол 30° с плоскостью основания)
ВС =h = АС • tg 30o = 9• \/3/3 = 3\/3
Таким образом объем пирамиды:
V = S•h /3 = 324• 3\/3 / 3 = 324\/3 cm3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Решить систему уравнений.
(8 пунктов)
a) Выразим у из второго уравнение и подставим это выражение в первое уравнение:
у = 12 - х
х2 - 2х(12-х) + (12-х)2 = 4
б) Раскрываем скобки:
х2 - 24х + 2х2 +144 - 24х + х2 - 4 = 0
в) Приводим подобные
4х2 - 48х + 140 = 0
г) Очевидно, что все члены уравнения можно сократить на 4 :
х2 - 12х + 35 = 0
д) Решаем квадратное уравнение: х1,2 = 6 ± \/ 36 - 35
х1 = 7 у1 = 12 -7 = 5
х2 = 5 у2 = 12 -5 = 7
-----------------------------------------------------------------------------
6. Решить уравнение. 
(5 пунктов)
Внимательно рассмотрите графики функций, и убедитесь, что
cos(π/2 + x) = sin (x)
Отсюда вытекает решение:
sin2 x - 2 sin x = 0
sin x (sin x - 2) = 0
Произведение равно нулю в том случае, если один из сомножителей равен нулю.
sin x = 0 при х = 0; π ; 2π ... , т.е. х = π n
(sin x - 2) никогда не обращается в 0, так как функция sin x никогда не превышает значения равного 1.
------------------------------------------------
7. При каких значениях m график функции у = (х + m)2-3 проходит через точку А(3; -2)? Построить графики с найденными значениями m.
(8 пунктов)
Задача сводится к тому, чтобы составить и решить уравнение относительно m
Нам дана точка А с координатами х = 3; у = - 2; Подставим эти значения в заданную нам функцию:
- 2 = (3 + m)2-3
-2 = 9 + 6m + m2 - 3
m2 + 6m + 8 = 0
m1,2 = -3 ± \/ 9-8
m1 = - 2; m2 = - 4
Получаем две функции:
1) у = (х - 2)2-3
2) у = (х - 4)2-3
Для построения графика найдем точки
а) Вершина параболы :
(х - 2) = 0 --> х = 2 ; y = -3
(х - 4) = 0 --> х = 4 ; y = -3
б) Дальше по идее можно рассуждать так. Проведем ось симметрии параболы через точку вершины параллельно оси у. Ветви парабол пойдут вверх и их наклон будет точно соответствовать функции у = х2 так как коэффициент при х2 в наших функциях равен +1. Вот и строим по клеточкам относительно оси симметрии, начиная от вершины обычный график:
х = 1клетка (влево-вправо от оси) у = 1клетка (вверх); х= 2 клетки у = 4 клетки; х = 3 клетки у = 9 клеток и т.д.
_________________________________
8. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на полуокружности, а меньшая сторона прямоугольника лежит на диаметре. Отношение сторон прямоугольника равно 1 : 2 Найти площадь прямоугольника.
(7 пунктов)
1) Допустим, что АВ = а, тогда ВС = 2а ОВ = а /2
2) Площадь прямоугольника будет равна S = a * 2a = 2a2
3) Выразим а через данный нам радиус R:
по теореме Пифагора R2 = a2 / 4 + 4a2 = 17a2 / 4
откуда а2 = 4R2 / 17
Cледовательно площадь прямоугольника S = 2a2 = 2* 4R2 / 17 = 8R2 / 17
---------------------------------------
