Глава I.  

Лестница «на сколько»

Египет и Вавилон.

Поскольку в арифметической прогрессии мы имеем дело с простыми вычислениями, касающимися чисел натурального ряда, можно предположить, что люди столкнулись с нею много веков тому назад. И в самом деле, несколько тысячелетий тому назад задачи, связанные с арифметической прогрессией, решались в древнем Египте и Вавилоне.

Мы приведём две такие задачи.

1. Задача из египетского папируса Райнда*).

•) При раскопках в Египте, среди большого количества религиозных памятников и хозяйственных документов, найдено несколько текстов (написанных на папирусе), посвященных решению арифметических и геометрических задач. Один из наиболее сохранившихся папирусов такого рода носит название папируса Райнда, по имени учёного, нашедшего его. Он хранится в Британском музее в Лондоне. Интересные папирусы имеются и в древлехранилищах Советского Союза.

10 мешков зерна разделить между десятью лицами так, чтобы их доли  составили   арифметическую  прогрессию  с разностью d = ¹/₈ мешка.

Тут же отметим, что в папирусе даётся решение, однако без всякого объяснения. Чтобы понять текст иероглифов папируса, нам придётся сделать одно постороннее замечание. В древнем Египте не знали дробей наподобие наших, а именно, там не   знали дробей вида ⁵/_{8   ,}    ¹⁷/₂₁ ,  но пользовались только такими дробями, у которых числитель равен 1. Для каждой такой дроби ¹/₂ , ¹/₅  , ¹/₈  был свой иероглиф.   Всякую  же  другую  дробь, например,⁹/₁₆ ,   они   представляют   как   сумму  ¹/₂  + ¹/₁₆ ;   ⁷/₈ = ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈    Этo записывается  в  виде   2   16;   2   4   8.

У египтян существовали особые таблицы для разбивания любой дроби на простейшие. В папирусе Райнда имеется специальная таблица для деления числа 2 на различные числа; например: 2 : 5 = 3 15;   2 : 9 = 6 18;   2 : 15 = 10 30;    2 : 17= 12  51  68.

Вернёмся к поставленной задаче и решим её, пользуясь уже известными нам готовыми формулами.

1-й способ. В данном случае нам известно число членов прогрессии   п =10, сумма членов  прогрессии   s = 10   и разность прогрессии   d = ¹/₈. Согласно решению папируса, прогрессию будем считать убывающей, т. е.   d  = — ¹/₈.

a₁₀ = a₁+ d (10 — l);      a₁₀ = a₁ — ¹/₈  •  9 = a₁ — ⁹/₈ .

Подставляем значение a₁₀ в формулу для суммы:

2-й способ. Допустим теперь, что эту задачу нужно было решить много веков тому назад, когда люди не знали ещё этих формул, т. е. решать её нужно было чисто арифметическим способом.

Расположим доли 10 лиц в убывающем порядке. Положим, что эти доли насыпаны в цилиндрические сосуды с одинаковыми основаниями. Столбики-цилиндры с зерном образуют лестницу, а разница между первым и последним столбиками составляет 9 ступенек. Средняя величина всех долей, равная 1 мере, находилась бы при этом «посредине» между 5 и 6 столбиками. Разность («средний» — 5-й или 6-й — «средний») равна половине ступеньки, т, е. ¹/₂  • d = ¹/₂  • ¹/₈ = ¹/₁₆ . Сколько же раз надо к среднему прибавить эту полуступеньку, т, е. сколько раз нужно добавить по ¹/₁₆  меры, чтобы от среднего перейти к наибольшему столбику?

От среднего до 5-го......1 полуступенька,

От       5-го  до 4-го......2 полуступеньки,

От       4-го  до 3-го......2 полуступеньки,

От       3-го  до 2-го......2 полуступеньки,

От        2-го  до 1-го......2 полуступеньки.

                         Всего ... 9 полуступенек.

Следовательно, чтобы получить высоту 1-го (наибольшего) столбика, надо к средней величине a_средн. =¹⁰/₁₀ = 1  прибавить  ¹/₁₆  •  9 = ⁹/₁₆;  первый член a₁ = 1 + ⁹/₁₆ = ²⁵/₁₆ .

Сказанное поясняется графиком (черт. 4).

черт. 4

Средней величине членов прогрессии соответствует высота точки М. Для решения задачи надо определить, на сколько точка А выше точки М. Египетский автор берёт разность высот точек М и N. Эта разность, т. е. длина LN, есть половина разности прогрессии, в нашей   задаче  равная  ¹/₈  : 2 = ¹/₁₆  "

Таких отрезков, равных LN, надо от точки М взять 9, чтобы  достигнуть   высоты точки  A, т.  е. высота А  равна высоте М плюс ¹/₁₆  •  9 ;  a₁ = 1 + ⁹/₁₆ = ²⁵/₁₆

В папирусе Райнда эта задача изложена так:

Пример распределения разностей. Пусть тебе сказано: разделить 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет 8 ( Вспомним, что тaк (8) в Египте обозначалась  ¹/₈ ) меры ячменя. Средняя доля есть 1 мера. Вычти 1 из 10. Остаток 9. Составь половину разницы; это есть 16. Возьми её 9 раз; это даст 2 16. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 8  меры, пока не достигнешь конца .

Затем приводятся все десять долей и делается проверка сложением. Как читатель видит, в папирусе даётся только правило, как следует решить задачу,но нет объяснения хода решения. Повидимому, такую задачу в те времена могли решать только отдельные ученые-жрецы, которые держали ход решения в тайне, а для общего пользовании давали готовый рецепт.

2. Задача из древней Вавилонской рукописи *).

*) Вавилоняне писали палочками на плитках из мягкой глины и потом обжигали свои «документы». Поэтому вавилонские рукописи имеют вид кирпичиков, на которых выдавлены странные клиновидные письмена. Такую «клинопись» уч{ные сумели почти полностью расшифровать.

Сумму в 1²/₃ мины = 100 шекелей серебра разделить между 10 братьями так, чтобы доли  братьев образовали арифметическую прогрессию **). Доля восьмого брата равна 6 шекелям. Найти разность этой прогрессии.

**) Вавилонская мина равнялась, примерно, ¹/₂ кг.

Буквально задача изложена так.

«10 братьев;  1 ²/₃ мины  серебра; брат над братом подымается: насколько он подымается, я не знаю. Доля восьмого брата есть 6 шекелей. Брат над братом, насколько он подымается?»

В этой задаче дано: a₈ = 6, n = 10, s = 100, а_ср =10. Определить d.

Решение её мы также поясним графиком. Тогда на нашем графике   а_ср = 10 есть высота точки М (черт. 5).

черт. 5

Мы дадим здесь решение такое, которое позволило бы понять и решение из вавилонской клинописи. Если к восьмому члену a₈ присоединить a₃, то сумма их будет в 2 раза больше среднего а_ср, потому что они равно отстоят от крайних членов.

Получаем:          a₈ + a₃ =  2а_ср = 2•10 ед.,      т. е. сумма высоты точек Е и F равна 20 ед. Найдём теперь разность их высот.

Так как высота точки Е известна, то из этой суммы надо вычесть удвоенную величину a₈;                                              a₃ — a₈ = (a₃ + a₈) — 2a₈.   

Но     a₈ = 6  ед., тогда             a₃ — a₈ = 20 —2 • 6 = 8 ед.

Итак, разность высот точек F и Е найдена. Как же найти высоту одной ступеньки d? Для этого надо найденные 8 ед. разделить на число ступенек, отделяющих указанные точки. Заметим, что число отделяющих ступенек можно было бы найти сразу: 8 — 3 = 5.

Но в первоисточнике этот вопрос решён иначе.

Справа от 8-го столбика имеется 1 + 1=2 столбика, а потому и 2 ступеньки. Слева от столбика a₃  также. Всего 4 ступеньки. Но ступенек между точками Е и F будет не 10 — 4, а только 9 — 4, так как при общем числе в 10 столбиков промежутков-ступеней будет на 1 меньше, т. е. 10 —1 = 9. А потому между точками Е и F имеется (10—1) — 4 = 5 ступенек.

Деля  вышенайденную разность  высот 8  ед.  на 5, получим: 8 : 5= 1³/₅ = 1 ³⁶/₆₀ , что по вавилонской шестидесятиричной системе записывается в виде 1; 36.

Теперь приведём подлинный вавилонский текст.

«Ты своим способом. Образовано  обратное от 10, числа людей, получается  0;6.  0; 6  на 1¹/₃ мины серебра  ты умножаешь, и 10 (шекелей) получается. 10 удвой, и 20 получается. 6, долю восьмого, удвой; 12 получается. 12 из 20 вычитается, и 8 получается. 8 удержи в голове. 1 и 1 soapliaam (слово не разобрано) сложи, и 2 получается, 2 удвой, и 4 получается. 1 и 4 ты складываешь, и 5 получается. 5 от 10, числа людей, отнимается, и 5 получается.— Обратное от 5 образуется, и 0; 12 получается, 0; 12   на 8 помножается, и  1; 36 получается. 1; 36 есть то, чем брат подымается над братом».