Глава I.  

Лестница «на сколько»

 Сумма квадратов Σ₂ (задача Архимеда)

Перейдём к нахождению суммы квадратов 1² + 2² + 3²+ ... + п². Решение этой задачи впервые было дано великим греческим математиком Архимедом в сочинении «О спиралях».

Прежде чем изложить решение, данное Архимедом, рассмотрим другое весьма простое и наглядное решение с помощью геометрической модели.

Первое решение. На каждой из прилагаемых прямоугольных схем имеется (черт. 8) по две группы кружков, слева и справа по одинаковому числу.

На первой схеме имеется слева и справа по 1 кружку; на второй схеме слева и справа по 1 + 4 = 5 кружков; на третьей — по 1+ 4 + 9 =14 кружков;
на четвёртой — по 1+ 4 + 9 + 16 = 30 кружков и т. д.

Каждое слагаемое в этих суммах есть «квадратное» число, как прямо следует из чертежа. Все остающиеся клетки каждой схемы заполнены точками. Оказывается, что в каждой схеме точек посредине имеется столько же, сколько кружков слева или справа. Прежде всего можно равенство числа кружков и числа точек проверить простым подсчётом для первых нескольких схем. Так, на 2-й схеме — кружков 1+4 = 5; точек посредине 5. На 3-й схеме — кружков 1+4 + 9=14; точек посредине 14. Но если это равенство подтверждается для всех пяти схем чертежа, то можно ли отсюда заключить, что такое равенство будет сохраняться для схемы с любым нумером п? Чтобы такое заключение было обоснованным, надо показать, что при переходе от схемы с нумером т к схеме с нумером т + 1 равенство числа кружков и числа точек сохраняется. Мы разберём переход от нумера т = 5  к нумеру  т +1=6;   но можно в этом рассуждении вместо числа 5 подставить любое число. Если перейти от 5-й схемы к 6-й, которую читатель  может себе мысленно представить, то с левой и правой стороны прибавится по квадрату, каждый из которых содержит 62 = 36 кружков. Сколько же прибавится точек? Так как слева и справа новые квадраты будут на 1 клетку шире прежних, то ширина всей схемы увеличится на 2 клетки. Вследствие этого в каждой из строк прежней схемы прибавится по 2 точки, а всего в прежних строках прибавится (1+2+3+4 +5)•2 точек. Сверх того, между двумя новыми квадратами появится вертикальная полоска, содержащая 6 точек. Итак, всего прибавится 2• (1+2 + 3 + 4 + 5) + 6 точек или же 1+2 + 3 + 4 + 5+6 + 5 + 4+3 +2+1 точек; согласно специальной формуле (4) это число равно 62 = 36 .

Таким образом, при переходе от 5-й к 6-й схеме прибавится по одинаковому числу кружков и точек, а потому и в 6-й схеме число кружков и число точек будут равны.

Подведём итог сказанному. Непосредственным подсчётом мы убеждаемся, что число кружков (слева или справа) и число точек равны для схем с несколькими первыми номерами, например, для n =1; 2; 3; 4. Затем доказывается, что при переходе от схемы т-й к схеме (т+1)-ой число кружков (слева или справа) и число точек увеличиваются одинаково, т. е. что равенство сохраняется при переходе от т к (т+1). Таким образом, получаем уверенность в том, что равенство имеет место при любом значении n.

Способ доказательства, который мы здесь применили, носит название метода математической индукции.

Теперь нетрудно будет решить поставленную задачу о сумме квадратов Σ₂. 

Вообразим себе схему с нумером n (например, n = 40). Тогда число кружков на левой стороне схемы равно:

или короче Σ_{2 .} Столько же будет кружков на правой стороне и, как доказано, столько же будет точек посредине; а потому число всех кружков и точек вместе равно:

3(1² + 2² + 3² +... + n²) = 3Σ₂.

С другой стороны, можно подсчитать число всех клеток n -й прямоугольной схемы.

Число   строк   схемы   равно    l + 2 + 3 +...+ n;   эта сумма равна .

Число столбцов схемы равно n + 1 + n = 2n + 1.

Число всех клеток схемы получим умножением длины на ширину; оно равно произведению:

Но общее число всех кружков и точек, очевидно, равно числу всех клеток схемы, а потому можно написать равенство:

3Σ₂ =¹/₂n (n  + 1)(2n  + 1),

откуда следует:

                    (7)

Эта формула позволяет быстро произвести подсчёт суммы квадратов для любого  значения п. Если, например, п = 40, то

Если взять п = 100, то сумма

Второе решение. Дадим теперь для формулы (7) другой вывод, а именно тот, который принадлежит самому Архимеду.

Доказательство Архимеда основывается на одном вспомогательном равенстве, и надо прежде всего рассмотреть и доказать это равенство.

Напишем подряд первые п чисел натурального ряда и под ними в обратном порядке первые п нечётных чисел (пусть, например, п = 10):

Составим теперь сумму из произведений чисел, стоящих друг под другом:

1 • 19 + 2 • 17+ 3 • 15 + 4 • 13 + 5 • 11 + 6 • 9 + 7 • 7 + 8 • 5 + 9 • 3 + 10 • 1.

Равенство  Архимеда  говорит,   что  эта  сумма равна сумме квадратов:

 l² + 2² + 3² +... +  9² + 10² .

В общем виде равенство Архимеда запишется так:

1 • (2п —1) + 2 • (2п —3) +...+ (п —2) • 5 + (п —1) • 3 + п • 1 =  l² + 2² +... +  п².    (8)

Чтобы доказать равенство (8), обратимся к квадратной таблице   на   черт.   9.   

черт. 9

Подсчитаем    сумму   всех   чисел таблицы двумя способами.

Во-первых, подсчитаем их внутри каждого участка, ограниченного жирными линиями. В первом участке имеется лишь одно число 1 = 1²; сумма трёх чисел, находящихся во втором участке, есть 1+2+1 = 4 =2². Сумма чисел в любом участке легко получается с помощью полученной ранее формулы (4).

Например, для шестого участка имеем: 1+2+...+5 + 6 + + 5+...+2+1= 6². Вообще сумма чисел в каждом участке равна квадрату нумера этого участка. Поэтому общий результат подсчёта во всех участках будет 1² + 2² + 3²+ ... + 10².

Во-вторых, подсчитаем суммы чисел, стоящих в участках, ограниченных пунктирными линиями. В первом участке (состоящем из единиц) имеется 2•10—1 = 19 единиц; во втором участке 2• 9 — 1 = 17 двоек; в следующем участке 2• 8—1 = 15 троек, и т. д. Результат этого подсчёта даёт сумму 1 • 19 + 2 •17 + 3 • 15+...+ 8 • 5 +  9 • 3 + 10 •1.

Результаты этого и другого подсчёта должны быть равны; тем самым равенство (8) доказано.

Перейдём теперь к выводу формулы для Σ₂ .  Мы будем вести рассуждение для значения п = 10, но доказательство  сохраняет  силу для любого значения п.

Архимед исходит из простейшей формулы для квадрата суммы:

(а + b)² = а² + 2аb + b²

Он пишет (при п = 10) такое равенство 11 раз, а именно:

В левых частях равенств имеем число 10² написанное 11 раз, а потому сумма левых частей равенств даёт (10 + 1) • 10² или, в общем случае, (п + 1) • п².

Будем теперь правые части равенств складывать по столбцам. Стоящий слева столбец даёт сумму 1² + 2² +  3² + ... + 10². Такую же сумму даёт столбец, стоящий справа. Остаётся сложить числа, стоящие в среднем столбце. На прилагаемой таблице показано, что эту сумму можно представить в виде:

1 • 18 + 2 • 16 + 3 • 14+. .. + 9 • 2.

И вот тут Архимед применяет остроумный приём. Чтобы удобнее подсчитать сумму чисел среднего столбца, он прибавляет к этим числам ряд чисел: 1 +2 + 3 + ...  + 9 + 10, чтобы получилась левая часть равенства (8).

Теперь   при   подсчёте   правой   части   всей   таблицы получается:

2Σ₂ + 1 • 19 + 2 • 17 + 3 • 15 + ...+ 9 • 3 + 10 • 1 =

= 2Σ₂ + 1² + 2² + 3² +...+ 9² + 10² = 2Σ₂+Σ₂ + 3Σ₂

Чтобы не нарушилось равенство, необходимо и к левой части таблицы прибавить сумму 1 +2 + 3+ ... + 10. В результате, в левой части равенства получаем:

Окончательно равенство примет такой вид:

3Σ₂ = (10 + 1) • 10² +  ¹/₂10 (10+1).

Или же, в общей форме, для любого значения п :

3Σ₂ = (п + 1) • п² +  ¹/₂п (п + 1).

Вынося п (п +1) за скобки, получаем

откуда следует:

Мы снова пришли к формуле (7).