Глава II.  

«На сколько» и «во сколько»

 Отношение двух количеств.

При сравнении двух количеств можно поставить два основных вопроса:

1) на сколько одно из них больше другого;

2) во сколько раз одно больше другого.

Например, если одна фабрика выпускает ежедневно 920 пар обуви, а другая—800 пар, то на вопрос: «На сколько продукция первой фабрики больше?», ответ будет: «На 120 пар», так как 920 — 800= 120. Если же спросить: «Во сколько раз продукция первой фабрики больше продукции второй?», то ответить на этот вопрос будет труднее. Число 920 не делится без остатка на 800, поэтому ответ нельзя дать в виде целого числа, сказав, например, что продукция первой фабрики в 2 или 3 раза больше.   

Обычно  всякое   отношение   двух   однородных количеств обозначается дробью ^А/_В, в данном случае ⁹²⁰/₈₀₀ . Если  эта   дробь поддаётся сокращению, то величина отношения принимает более простои вид: ⁹²⁰/₈₀₀ = ⁹²/₈₀ = ⁴⁶/₄₀ = ²³/₂₀

Это означает, что если продукцию второй фабрики принять за 20 долей, то продукция первой фабрики составит  23 таких   же  доли.    Однако   следует   помнить, что дробь ²³/_{20 ,}  выражающая искомое отношение, по существу содержит в себе сопоставление двух чисел, двух величин, и поэтому было бы правильнее писать её в виде пары чисел (23:20). Иначе говоря, переход от продукции 800  ед.   к   продукции   920   ед.   равносилен    переходу (20 ед.—> 23 ед.) или короче (20 —>23).

Следует отметить, что на вопрос «во сколько» ответ часто дают в процентах. Так, в нашем примере продукцию второй фабрики (800 пар обуви) можно принять за 100%; тогда разница в 120 пар составит 15%, а потому продукция первой фабрики составит 115%. Хотя и принято говорить, что первая фабрика выпускает обуви на 15% больше, чем вторая, но в самом деле такое процентное вычисление даёт ответ именно на вопрос «во сколько», а не на вопрос «на сколько». На 15% больше, это значит «больше в отношении 115:100».

Пример 1. В Сталинской Конституции имеется статья 144, которая касается флага СССР: «Отношение ширины флага к длине 1:2». Означает ли это, что установлена определённая величина флага? Конечно, нет. Можно приготовить огромные флаги, флаги средней величины и маленькие флажки, притом так, чтобы все они соответствовали указанному пункту Конституции. Что же выражает это предписание 1:2? Оно даёт отношение двух величин, двух отрезков, соотношение длины и ширины.

Если задать длину флага, например, в 3 м, то ширина должна быть равна 1,5 м. И, наоборот, если известна ширина флага, например, 50 см. то длину следует взять равной одному метру. Таким образом, узаконенное отношение 1:2 вполне определяет форму флага, но не его величину. Это отчётливо видно на черт. 10: первые два советских флага нарисованы с соблюдением указанного Конституцией   отношения   сторон;   третий   флаг   взят с отношением сторон 2:3. Форма последнего флага противоречит Конституции.

Пример 2. В саду во время гулянья была устроена лотерея. Выпустили 1000 билетов, из которых выигрышных было 80. Какова вероятность выиграть, купив один билет?

Шансы на выигрыш, очевидно, зависят от отношения числа выигрышных билетов к общему числу всех билетов, т. е. определяются парой чисел 80: 1000. Это отношение называется вероятностью выигрыша и записывается обычно в виде дроби:

Если 75 школьников возьмут по билету, то следует ожидать, что из них выиграют
75 • р = 75 •0,08 = 6 человек.

Если устроить лотерею с 3000 билетов, из которых 240 выигрышных, то шансы на выигрыш не изменяются, так как отношение числа выигрышных билетов к общему числу остаётся прежним:

Последний пример отчетливо показывает, что отношение может оставаться неизменным, хотя изменяются числа, определяющие отношение. Это имеет место тогда, когда оба числа, составляющие отношение, умножаются или делятся на одно и то же число. Иначе говоря, отношение (am : bт) равно отношению (а : b).

Пример 3. Пусть два тела начали двигаться одновременно и движутся с постоянной скоростью. Графиком движения того и другого тела будут прямые линии (черт. 11).

черт. 11

Через некоторый промежуток времени оказалось, что первое тело прошло 2 км, а второе 2,4 км. На графике движения этих двух тел представлены прямыми ОА и ОВ, причём    ОР означает соответствующий промежуток времени.

Ввиду того, что движение того и другого тела совершается равномерно, отношение пройденных расстояний для любого момента времени остаётся одним и тем же. В течение всего процесса движения некоторая величина, а именно величина   отношения   ^PN/_PM , остаётся неизменной. Эту величину можно сделать более наглядной, если из всевозможных пар РМ и PN взять такую, где одно из расстояний, именно РМ, равно 1 (единице).

Пусть отрезок Q₁   равен 1:   тогда отрезок QR равен числу k = ^2,4/₂ = 1,2. Принято вместо отношения (1,2:1) писать просто число 1,2. Это число (абстракция от пары чисел) называется величиной отношения или же коэффициентом отношения. Пишут     кратко:

  ^PB/_PA = k =  1,2

Заметим ещё, что отношения количеств А : В и В : А являются взаимно обратными. Их величины выражаются двумя взаимно   обратными   дробями:    k₁  = ^m/_n;    k₂ = ⁿ/_m;  например, ⁵/₆  и ⁶/₅   Произведение таких двух коэффициентов равно единице. Например:

⁵/₆ •  ⁶/₅  = 1

Обратно, если нам известны одно из количеств А (или В) и коэффициент их отношения, то можно определить второе количество В (или А).

Например,  А = 300;  k =  ^B/_A   равно ⁵/₆  Требуется найти  В.

Если А содержит 6 долей, то В таких же долей содержит только 5. Надо совершить переход (6—> 5). Для этого   делим    величину   А = 300   на   6   равных   долей:

300 : 6 = 50,

и берём   5  таких   долей:  

50• 5 = 250.

Наш переход (6 —> 5) состоит из двух простых операций.

Обычно  принято   записывать   иначе:   ^B/_A = k , откуда В = Аk, т. е. надо   умножить  величину   А   на коэффициент (дробь) k.

Другой   пример.   А = 300;  k =  ^B/_A   равно ⁵/₆ ; найти В.

Но если А : В = ⁵/₆, то В : А = ⁶/₅. Значит переход от A к В даётся скобкой (5 —> 6). Поступая попрежнему, найдём:

³⁰⁰/₅ = 60;     60 • 6 = 360.

Покажем решение этих двух примеров на графике (черт.  12а и б).

черт.  12а

черт.  12б

Пусть исходная величина А представлена отрезком ОМ, взятым вдоль оси Ох. Под некоторым углом к Ох проводим другую ось Op.

В первом случае откладываем вдоль оси Ор от начала О шесть произвольных, но равных между собой отрезков. Конец 6-го отрезка соединяем прямой с точкой А.

Параллельно полученной прямой 6А проводим из конца 5-го отрезка прямую до пересечения с осью Ох в некоторой точке. Эта точка В определит искомый отрезок ОB, численно равный искомой величине В.

Во втором случае, графическое изображение перехода (5 —> б) получаем аналогично.

Если имеются две пары величин: пара а : b и пара с : d, и если при этом отношение k₁  первых а : b  равно отношению k₂ вторых с : d ,  то такое равенство k₁ = k₂, или же
а : b = с : d называют пропорцией (кратной пропорцией).

Чтобы лучше уяснить сущность пропорции, полезно сопоставить её с другим соотношением такого же рода.

черт. 13

На черт. 13 представлены в виде столбиков четыре числа: а = 50, b = 60, с = 80 и d = 90. Из них второе на столько больше первого, на сколько четвёртое больше третьего:   

60 — 50 = 90 — 80     или      b — a = d — c.

Такую связь четырёх чисел называют разностной пропорцией.

черт. 14

На черт. 14 представлены четыре числа:  а = 50, b = 60, с = 80 и d = 96. Здесь второе число во столько раз больше первого, во сколько раз четвёртое   больше  третьего,   а   именно,   

60 : 50 = 96 : 80     или      b : a = d : c.

Такую связь четырех величин, как уже указано, называют кратной пропорцией, или просто пропорцией.

Из следующей таблички видна аналогия, существующая между свойствами разностной и кратной пропорций.

При сложении двух крайних столбиков (1-го и 4-го) на черт. 13 и двух средних столбиков (2-го и 3-го) получаются одинаковые результаты. Это значит, что в разностной пропорции сумма крайних членов равна сумме средних.

Подобную связь можно установить и между членами кратной пропорции, с той лишь разницей, что здесь вместо суммы следует взять произведения средних и крайних членов. Если величина отношения b : а равна k, то и d : с  = k; отсюда следует, что b = ak; d = ck. Произведение крайних членов ad может быть заменено произведением трёх множителей (если вместо d написать ck): ad — a•(ck) = аck. Произведение средних также можно представить как произведение (тех же) трёх множителей: bс = (ak) • с = аkс. Таким образом установлено основное свойство всякой (кратной) пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.