|
ГЛАВА III. ЛЕСТНИЦА «ВО СКОЛЬКО». Сумма членов геометрической прогрессии. Как и в случае арифметической прогрессии, при рассмотрении геометрической прогрессии основными являются два вопроса: 1) найти любой член прогрессии аn; 2) найти сумму п членов прогрессии. На первый вопрос мы ответили формулой an = a0qn. Обратимся ко второму вопросу. Пусть имеется прогрессия a0, a1, a2 , a3, ..., an-1 Возьмём для определенности n = 20; сумма членов этой прогрессии есть: a0 + a1 + a2 + a3 + a4+... + a19 = a0 + a0q + a0q2 + ... + a0q18 + a0q19. Обозначим эту сумму буквой s. Если умножить все слагаемые суммы на знаменатель q, то получим другую сумму: a0q + a0q2 + a0q3 +... + a0q19 + a0q20, которая равна sq. Эта новая сумма содержит все слагаемые первой суммы, кроме a0, а также имеет одно добавочное слагаемое a0q20: a0 + a0q + a0q2 + a0q3 +a0q4 +... + a0q18 + a0q19 = s, a0q + a0q2 + a0q3 +a0q4 +... + a0q18 + a0q19 + a0q20= sq Вычтя из нижнего равенства верхнее, получаем: a0q20— a0 = sq — s. В этом равенстве неизвестным является сумма s. Решая уравнение, подучаем:
Таким же образом для любого значения получаем формулу:
Рассмотрим ещё один вывод формулы суммы членов геометрической прогрессии. Этот вывод интересен тем, что он был предложен древнегреческим математиком Евклидом. Пусть требуется найти сумму 8 членов прогрессии a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = s. Рассмотрим разности между соседними членами прогрессии, т. е. a1 — a0, a2 — a1, a3 — a2, ... Разность a1 — a0 принято обозначать через Δ a0 (знак Δ — греческая буква «дельта» — не есть множитель, а заменяет слово «прирост», «приращение», которое получает «нулевой» член a0 , чтобы стать равным a1 . Аналогично обозначаются и другие разности. Δ a0 = a1 — a0 = a0q — a0 = a0( q —1) = a0( q —1), Δ a1 = a2 — a1 = a0q2 — a0q = a0q( q —1) = a1( q —1), Δ a2 = a3 — a2 = a0q3 — a0q2 = a0q2( q —1) = a2( q —1), ............................................................................................ Δ a6 = a7 — a6 = a0q7 — a0q6 = a0q6( q —1) = a6( q —1), Δ a7 = a8 — a7 = a0q8 — a0q7 = a0q7( q —1) = a7( q —1), Последняя строка добавлена для того, чтобы а, получило приращение и чтобы разностей было столько же, сколько сумм, т. е. 8. Из последнего и предпоследнего столбцов вытекает два интересных факта: 1) каждая разность равна соответствующему члену прогрессии, умноженному на одну и ту же величину (q —1); 2) разности составляют геометрическую прогрессию с тем же знаменателем q, только первый член равен a0( q —1). На черт. 31 наглядно видно, что график членов прогрессии и график членов разностей имеют сходный вид. Здесь взято a0 = 0,4; q = 3/4
Черт. 31 Сложив разности между собой, получим: Δ a0 + Δ a1+... +Δ a7 = a0( q —1) + a1( q —1) + ...+ a7( q —1) = (q —1)( a0 + a1+... + a7) = = (q —1)s. Но сумму всех приращений найти нетрудно; все они вместе взятые равны разности между последним членом a8 и первым a0. На черт. 31 видно, что они, как ступеньки лестницы, ведут от верхнего конца первого отрезка к верхнему концу последнего. Отсюда получаем:
Получилась та же формула, которая была выведена другим путём. Пример. Сумма членов прогрессии 45; 45•1,05; 45•(1,05)2 ; ... ; 45•(1,05)20 вычисляется так:
Для того чтобы применить эту формулу, надо уметь вычислить степень (1,05)21. В последующих главах будет рассказано, каким образом математики научились быстро выполнять эту, казалось бы, громоздкую, работу. Остановимся вкратце на случае убывающей геометрической прогрессии, т. е. на том случае, когда знаменатель q < 1. Если, например, каждый член прогрессии на 15% меньше предыдущего, то q = 85/100 = 0,85. Члены прогрессии будут: a0; a0 • 0,85; a0 • 0,852; a0 • 0,853; a0 • 0,854; ... Требуется найти сумму a0 + a0 • 0,85 + a0 • (0,85)2 + a0 (0,85)3 + ... + a0 (0,85)n - 1 Решение покажем на чертеже (черт. 32). Здесь приращения Δ a0, Δ a1, Δ a2; ... отрицательны; заметим ещё, что в этом случае приращения будут убывать по своей численной величине.
Черт. 32 По абсолютной величине каждая разность будет равна: Δ a0 = a0 — a1 = a0 — a0q = a0( 1 — q) = a0( 1 — q), Δ a1 = a1 — a2 = a0q — a0q2 = a0q( 1 — q) = a1( 1 — q), Δ a2 = a2 — a3 = a0q2 — a0q3 = a0q2( 1 — q) = a2( 1 — q), ............................................................................................ Δ a7 = a7 — a8 = a0q7 — a0q8 = a0q7( 1 — q) = a7( 1 — q), Сумма всех разностей по абсолютной величине равна разности между первым и последним членами (на черт. 32 она представлена отрезком M'N'). Δ a0 + Δ a1+... +Δ a7 = a0 — a8 = a0( 1 — q) + a1( 1 — q) + ...+ a7(1 — q) = откуда
Для любого числа членов получим
Эта формула отличается от предыдущей лишь тем, что в числителе и знаменателе знаки изменены на противоположные: с точки зрения алгебры обе формулы одинаковы. Рассмотрим ещё сумму членов геометрической прогрессии особого рода, а именно такой, в которой члены попеременно положительны и отрицательны, например: a0 — a0 • 0,85 + a0 • 0,852 — a0 • 0,853 + a0 • 0,854 — a0 • 0,855+ .... Построим график (черт. 33, верхняя половина), в котором положительные члены представлены отрезками, идущими вверх, отрицательные — отрезками, идущими вниз.
Черт. 33 Будем считать число п чётным; тогда, последний отрезок, например, a8 будет направлен вниз. Как и на черт. 31 и 32 добавим ещё один отрезок a9. Допустим, что на черт. 33 какое-нибудь тело перемещается из точки A1 в точку А2, затем из точки А2 в точку А3 и так далее. Эти приращения будем считать положительными, если они совершаются снизу вверх, и отрицательными — сверху вниз. При этом нас будет интересовать не длина самих перемещений, а разность высот начальной и конечной точек. При перемещении A1A2 понижение численно равно сумме отрезков О1А1+ О2А2; это перемещение, направленное вниз, изображено на нижней половине черт. 33 отрезком А'1Р1 со стрелкой. Перемещение А2А3 изображено отрезам А'2Р2 со стрелкой и так далее. Рассмотрим сумму новых отрезков А'1Р1, А'2Р2, А'3Р3 , ... , учитывая их знаки. Так как знаки соседних членов противоположны, то сумма первых двух членов А'1Р1 и А'2Р2 будет получаться вычитанием отрезка А'2Р2 из отрезка А'1Р1 и окажется равной расстоянию точки Р2 от горизонтальной линии А'1М (со знаком минус, так как перемещение, направленное вниз, больше). Сумма первых трёх членов А'1Р1 + А'2Р2 + А'3Р3 будет равна расстоянию точки Р3 от линии А'1М (со знаком минус) и т. д. Сумма всех восьми членов с учётом их знаков окажется равной расстоянию последней точки Р8 от линии А'1М, т. е. длине отрезка MN со знаком минус. Итак, сумма S равна минус длине MN (дл. О1A1— дл. О9А9) = — (1 — 0,858) = — (1 — q8). Обратимся теперь к нашей основной сумме, т.е. к сумме отрезков О1A1, О2A2, О3A3, ... с их знаками. Сравнивая эти отрезки с отрезками А'1Р1, А'2Р2, А'3Р3, мы видим, что Далее, сравним отрезки О2A2 и А'2Р2. Длина отрезка О3A3, равна 0,85 длины отрезка О2A2; длина отрезка А'2Р2 численно равна сумме длин отрезков О2A2 и О3A3 , т. е.: А'2Р2 = О2A2 + О2A2 • 0,85 = О2A2 • 1,85. Поэтому отношение отрезков А'2Р2 и О2A2 равно опять (1,85: 1) и так далее. Отсюда следует, что и вся сумма отрезков A'iPi больше всей суммы отрезков OiAi в отношении (1,85: 1). Но сумма отрезков A'iPi с учётом их знаков уже найдена и оказалась равной — (1 — 0,858) = — (1 — q8) = s1. Чтобы определить искомую сумму прогрессии, надо переменить знак величины S1 на противоположный и изменить её в отношении (1 : 1,85). Получим:
для нечётного числа членов, например, n = 9, получили бы:
Общая формула будет:
(в числителе знак плюс в случае нечётного числа членов и знак минус —в случае чётного). Но в алгебре принято поступать иначе. Если члены прогрессии имеют чередующиеся знаки, то знаменатель прогрессии q считают отрицательным; так в нашем примере Рассмотренную нами величину отношения 1,85 можно представить как 1— ( — 0,85). Тогда получим:
И общая формула будет такова:
независимо от того, будет ли число членов чётным или нечётным. Эта формула не отличается от формулы для прогрессии с постоянными знаками. Пусть дана убывающая геометрическая прогрессия a0 , a0q , a0q2 , a0q3 ,... , a0qn здесь знаменатель прогрессии q < 1; очевидно, что при достаточно большом числе n величина членов прогрессии может стать сколь угодно малой. Если, например, a0 = 1, q = 0,3, n =100, то ап = a0qn = (0,3)100. Количество (0,3)100 очень мало, так как уже (0,3)12 = 0,000 000 531 441, т. е. меньше одной миллионной. Если мы будем значения n ещё больше увеличивать и брать n = 200, n = 300, и т. д., то количество (0,3)n будет уменьшаться и приближаться к нулю. Сделаем теперь смелое допущение, что число n членов ничем не ограничено, что прогрессия продолжается бесконечно, и попробуем найти её «сумму». Прежде всего может возникнуть такая мысль: «число слагаемых не ограничено, новые слагаемые «без конца» прибавляются к начальным; повидимому, и сумма их возрастает без конца, т. е. «растёт» до бесконечности». Но оказывается, это не так: если знаменатель прогрессии q < 1, то сумма членов прогрессии остаётся конечной, как бы далеко её ни продолжать. Чтобы это доказать, допустим сперва, что n имеет какое-то определённое большое значение, например, n =1000. На основании формулы (2) можно написать что сумма
Если, например, q = 3/4 , то
Эту сумму можно представить как разность двух слагаемых:
Так как второе слагаемое —чрезвычайно малая дробь, то, отнимая такую дробь, мы получаем лишь, немногим меньше, чем
Итак, при q < 1
Однако равенство это имеет необычный характер, так как в левой его части мы не можем буквально сложить всё «бесконечное множество» слагаемых. Оно выражает лишь то, что чем больше слагаемых левой части мы сложим, тем меньше наша сумма будет отличаться от Формула суммы членов бесконечной прогрессии оказалась проще чем для конечной. Именно то слагаемое Дадим теперь вывод формулы (3) графическим способом и покажем эту необычную сумму на чертеже. Берём конкретный пример a0 = 1, q = 3/4 . График (черт. 34) строится следующим образом.
Черт. 34 Строим квадрат ОАС1B со стороной, равной 1; ОA=1; ОВ=1 (например, 1 дм). Продолжаем сторону квадрата АС1 на отрезок C1L1, численно равный q ( в нашем примере = 3/4 дм). Затем проводим диагональ ОС1 и прямую BL1; обе эти прямые продолжаем до их пересечения. Обозначим точку пересечения через М. Затем строится «лестница» следующим норазом. Из точки L1 проводим горизонтальный отрезок L1С2 до встречи с диагональю ОМ; из полученной точки С2 проводим вертикальный отрезок С2L2 до встречи c прямой ВМ в точке L2. Далее, из точки L2 —горизонтальный отрезок L2С3; из точки С3 вертикальный отрезок C3L3 и так далее. Этот процесс проведения горизонтальных и вертикальных отрезков никогда не приостановится. В самом деле, где бы мы ни взяли точку на отрезке ВМ (кроме самой точки М), из неё можно провести горизонтальный отрезок; из полученной точки пересечения —опять вертикальный. Сама точка М является в этом процессе как бы недостижимой; с другой стороны, из графика прямо следует, что точка М находится на конечной высоте и что высота этой «нескончаемой» лестницы ОВС1L1C2L2C3L3C4L4 ... может быть приравнена к отрезку РМ. Прежде всего покажем, что отрезки C2L2; C3L3; C4L4; C5L5; ... равны последующим членам нашей геометрической прогрессии 0,752; 0,753;... Треугольник С1L1C2, равнобедренный; в нём углы С1 и С2 равны 45"; поэтому Далее, треугольник L1C2L2 подобен треугольнику BС1L1. Так как отношение Далее, треугольник C2L2C3 опять равнобедренный; C2L2 = L2C3, а потому длина отрезка L2C3 также равна q2. Треугольник L2C3L3 подобен треугольнику BС1L1 поэтому отношение В результате, подъём ступенек нашей лестницы определяется равенствами: OB = l ; C1L1= q; C2L2= q2; C3L3 = q3; C4L4 = q4 и так далее. Поэтому сумма нескольких членов прогрессии равна высоте последней взятой ступени над горизонталью ОР. Когда число ступеней неограниченно растёт, то вершина лестницы подходит как угодно близко к предельной точке М, «упирается» в точку М. А потому найти «сумму» членов прогрессии —значит определить длину отрезка РМ. Так как фигура OPMN квадрат, то можно его сторону РМ заменить стороной MN. Мы найдём длину MN из геометрических свойств чертежа следующим образом. Продолжим отрезок C1L1= 3/4 единицы до точки Е так, чтобы отрезок С1E был равен 1, и построим треугольник ВL1Е. Нетрудно видеть, что треугольник BL1E подобен треугольнику L1C1M, так как у них стороны BE и С1М параллельны. Далее, треугольник L1C1M, очевидно, подобен треугольнику ОВМ, а потому треугольник ВL1Е подобен треугольнику ОВМ. Из подобия последних двух треугольников мы определим длину стороны MN, т. е. искомую сумму прогрессии. У подобных треугольников ОВМ и ВL1Е высоты MN и ВС1,, опущенные из соответствующих вершин М и В, относятся между собой как сходственные стороны, например, как основания ВО и L1Е:
Но из входящих в эту пропорцию четырёх величин три нам известны, а именно: BC1 = 1ед.; ВО= 1ед.; L1Е = C1E — C1L1 = 1 — q (в данном примере L1Е=1 — 3/4 = 1/4 единицы ). Поэтому: MN: 1 = 1 : (1 — q). Согласно основному свойству пропорции, отсюда получаем: Итак, мы снова получили: Если же задаётся прогрессия вида a0 , a0q , a0q2 , a0q3, то сумма её членов равна Мы получили найденную ранее формулу (3). Эту формулу можно применить к одному чисто арифметическому вопросу. Пусть задана периодическая десятичная дробь 0,6666..., у которой число десятичных знаков не ограничено. Чему равно численное значение дроби? Представим заданную дробь в виде суммы
После всего вышесказанного нас не будет пугать то обстоятельство, что ряд тянется без конца. Написанный ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию. Каждое слагаемое в 10 раз меньше предыдущего, т.е. знаменатель прогрессии q =1/10= 0,1. Согласно формуле (3), пишем:
Таким же образом можно определить значение периодической дроби 0,23232323... Представим эту дробь в виде:
Знаменатель прогрессии в данном случае есть q = 1/100 , а первый член 23/100. Поэтому сумма
Если задана смешанная периодическая дробь, например, 0,5(12) = 0,51212121212 ..., то её можно представить в виде суммы:
Если не считать первое слагаемое, то остальные представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1/100 и первым членом a0 = 12/1000 Поэтому значение дроби равно:
Рассмотрим ещё бесконечную убывающую прогрессию другого рода, а именно такую, в которой члены прогрессии имеют попеременно знак плюс и минус. Таковой будет, например, прогрессия: 1— 0,7 + 0,72 — 0,73 + 0,74 —... Формулу для «суммы» такой бесконечной прогрессии можно получить из соответствующей формулы для конечной суммы:
Так как второе слагаемое в числителе при возрастании как угодно близко подходит к нулю, то им в конце концов можно пренебречь; получим:
И для этого случая можно дать вывод при помощи графика. Мы даём этот график (черт. 35) ещё и потому, что он сыграет большую роль в дальнейшем изложении.
Что же касается доказательства формулы, мы ограничимся лишь краткими указаниями. На черт. 35 изображён квадрат ОАС1В со стороной, равной 1. Отрезок C1L1= q (на чертеже q = 3/4) . Из подобия треугольников NC1L1 и NC2L2 можно найти, что C2L2 = q2; далее окажется, что C3L3= q3; C4L4= q4. Таким образом отрезки OB, C1L1, C2L2, C3L3 и т. д. по абсолютной величине равны членам убывающей геометрической прогрессии 1, q , q2 , q3 и т. д. Если сторонам, направленным вверх, придать знак + , а направленным вниз знак — , то они образуют бесконечную убывающую прогрессию с переменными знаками 1, — q , + q2 , — q3 , ... На чертеже наглядно видно, что члены прогрессии ОВ, C1L1, C2L2, ... всё теснее и теснее подходят к предельной точке N, а величины этих отрезков бесконечно убывают и приближаются к нулю. Но этого мало, на этом чертеже наглядно видны суммы членов прогрессии и сумма «всей» прогрессии. Отрезок AL1 = EС2=1— q , т. е. этот отрезок равен сумме (алгебраической) двух первых членов прогрессий. Отрезок L2E = FE3 = EС2 + C2L2 = 1— q + q2 и т. д. Иными словами, расстояние конечной точки отрезков-членов прогрессии от горизонтали ОА представляет собой сумму членов прогрессии. Следовательно, отрезок NP представляет собой сумму «всей» прогрессии. Чтобы найти значение этой суммы, заметим, что треугольники BNO и C1NL1 подобны и PN = NB. Из подобия этих треугольников находим:
или
откуда следуют равенства:
Если первый член прогрессии не 1, а a0, то и вся сумма умножится на a0, и мы получим общую формулу
Эта формула примет привычный вид
если знаменатель знакопеременной прогрессии считать числом отрицательным. |
(2)
. Чем больше число слагаемых п, тем меньше будет величина, которая отнимается от 
, как бы уничтожается, и, в конце концов, результат приближается к дроби 
(3)
, то и отношение 
Но L1C2= L1C1 = q. Следовательно, 
, и отсюда C2L2= q2.
; C3L3 = L2C3 • q = q2 • q = q3 и так далее.
в нашем примере 
