|
ГЛАВА IV.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ.
В первой главе были выведены три формулы, дающие возможность найти легко и быстро суммы:
Σ1 = 1 + 2 + 3 + ... + n
Σ2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2
Σ3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Эти формулы были таковы:
Σ1 = 1/2 n ( n + 1 )
Σ2 = 1/6 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
Σ3 = 1/4 n4 + 1/2 n3 + 1/4 n2
Но вторая и третья формулы были получены специально придуманными, искусственными приёмами. Это обстоятельство не нарушает правильности формул. Однако математика, как наука, не удовлетворяется тем, что полученный ответ на задачу правилен. Она ставит требование, чтобы решение задачи было дано в стройной форме; она постоянно стремится улучшить метод исследования. С этой целью математика старается вскрыть связь между отдельными формулами.
В данном случае можно поставить перед собой вопрос: нельзя ли установить связь между формулами для Σ1, Σ2, Σ3? Если бы удалось это сделать, то можно было бы пытаться вывести формулу для Σ4; затем для Σ5 и т. д. Читатель, вероятно, заметит, что поставленный сейчас вопрос не является частным вопросом, а носит общий характер. Разработка именно таких более общих вопросов и составляет основное содержание математики как науки. Разрешая одни вопросы, математика выдвигает другие, и в этом заключается её поступательное движение. Мы уже указывали в первой главе, что математик Фаульхабер (1580—1635) дал формулы для Σm до значения т = 11.
Перепишем формулы для Σ1, Σ2, Σ3 в несколько ином виде:
Σ1 = 1/2 n2 +1/2 n ;
Σ2 = 1/3 n3 + 1/2 n2 +1/6 n
Σ3 = 1/4 n4 + 1/2 n3 + 1/4 n2
и добавим к ним несколько последующих формул Фаульхабера:
Σ4 = 1/5 n5 + 1/2 n4 + 1/3 n3 — 1/30 n
Σ5 = 1/6 n6 + 1/2 n5 + 5/12 n4 — 1/12 n2
Σ6 = 1/7 n7 + 1/2 n6 + 1/2 n5 — 1/6 n3 + 1/42 n
При сопоставлении этих формул нетрудно заметить, как составлено первое слагаемое. Вероятно, читатель сам сделает заключение, что для суммы Σ7 первый член правой части должен быть равен 1/8 n8 ; для Σ8 первый член будет 1/9 n9. Но верно ли это и остаётся ли это правило неизменным для суммы Σm с любым значением т? Ведь мы сделали такое предположение только на основании нескольких приведённых формул, а этого недостаточно. Чтобы высказать общее утверждение, надо вскрыть внутреннюю закономерность в формулах для различных Σm. Темой настоящей главы и является такое исследование для нескольких первых формул, чтобы на нём проследить общий метод и получить затем возможность вычислить любую Σm. Следует отметить, что в средние века вопрос о Σm носил характер математической загадки, был своего рода спортом, но в настоящее время дело обстоит совсем по иному. Общая формула для Σm позволяет с большой лёгкостью получить целый ряд новых результатов.
| 