|
ГЛАВА IV. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ. 4. Диагонали таблицы и формула Паскаля (второй способ). В эпоху, когда жили Тарталья, Фермa и Паскаль, азартные игры имели большое распространение. Свою таблицу Тарталья составил, имея в виду расчёты при игре в кости, подобные же задачи натолкнули Паскаля и одновременно с ним Фермa на исследование новых математических вопросов; их разработка привела к созданию особой ветви математики —теории вероятностей. Одной из таких задач была задача о бросании монеты. Если 1 раз подбрасывают монету, то может выпасть либо решётка, либо герб. Будем выпадение решётки обозначать нулем, выпадение герба —единицей. Тогда результат одного подбрасывания выразится знаком:
Если монету подбросить второй раз, то опять может выпасть либо решётка, либо герб, причём любой результат второго бросания монеты может сочетаться с любым результатом первого. Всего получим 4 возможных случая, или, как принято говорить, 4 варианта:
Объединяя их в одну схему, получим:
Перейдём к случаю трёх бросаний монеты. В результате третьего бросания опять может выпасть либо решётка, либо герб, и каждый из этих результатов может сочетаться с любым из 4 вариантов результата первых двух бросаний. Получим две схемы:
Третий столбец показывает результат 3-го бросания. Всего получим 4 • 2 = 8 вариантов. Их можно распределить по числу выпадений герба. Например, «1 раз герб» встречается два раза на левой схеме и ни одного раза на правой. Соединение одинаковых вариантов (по числу гербов) показано стрелками. Теперь можно все эти 8 вариантов соединить в одну схему. Получим:
Подбросим монету в четвёртый раз. Независимо от предыдущих результатов, опять может выпасть либо решётка, либо герб. К полученной схеме, сообразно с этим, можно справа приставить столбец с нулями или столбец с единицами. В результате получим 8 • 2 =16 вариантов.
Распределим эти 16 вариантов по числу выпадений герба:
Отметим опять, что варианты каждой категории в последней таблице получаются путём соединения вариантов этой категории в левой и правой схеме, ранее указанных. Такое сложение вариантов одной категории можно представить весьма просто, если группу чисел:
дающих результаты 3 бросаний, написать 2 раза, затем вторую группу чисел сдвинуть вправо на одну клетку так:
Складывая по вертикалям, получим новую группу чисел, т. е. числа вариантов 4 бросаний:
Переходя к случаю 5 бросаний, покажем результаты на схеме без объяснений:
Соединяя оба столбца вместе, получим:
Новые числа вариантов попрежнему можно получить путём своеобразного сложения двух групп чисел—результатов 4 бросаний:
Этот процесс подсчёта чисел вариантов можно продолжить. Для случая 6 бросаний получим:
Для случая 7 бросаний получим:
и так далее. Выпишем подряд группы чисел, дающие числа вариантов при 1, 2, 3, 4, 5, ... бросаниях:
И так далее. Расположим эти группы чисел одну под другой. Тогда получим числовой «треугольник».
Таблица эта была известна уже очень давно: такая в точности таблица имеется в книге «Драгоценное зеркало четырёх начал» (1303 г.) китайского математика Тшу-Ши-Ки. Дадим теперь этому «китайскому треугольнику» иное расположение, а именно такое, чтобы единицы шли горизонтально вправо и вертикально вниз. Тогда получим ту форму таблицы, которую рассматривал Паскаль в своей книге. Отсюда произошло название «Арифметический треугольник Паскаля»:
Если эту треугольную таблицу Паскаля сравним с прямоугольной таблицей Тартальи, то убедимся, что треугольник Паскаля есть срезанный вдоль диагонaли прямоугольник Тартальи. Таким образом, если мы сумеем написать формулу для любого числа треугольника Паскаля, то можно будет написать формулу и для любого фигурного числа Fnk Но присмотримся к группам чисел, находящихся на диагоналях треугольника. С такими группами чисел мы уже встречались в начале этой главы. Мы, например, имели группу чисел:
Для такой группы чисел в начале этой главы мы получили вполне определённые формулы. Например, при n = 8:
Таким образом, обнаружилась связь между двумя, казалось бы различными, задачами: задачей с подбрасыванием монеты и задачей о числе сочетаний из n элементов по k. Эта связь не случайна. Здесь в задаче с подбрасыванием монеты ставится вопрос: сколько имеется вариантов того, чтобы при 8 бросаниях монеты герб выпал 2 раза? Ответ—28 вариантов. Так как выпадение герба могло произойти при любом из 8 бросаний, то, перенумеровав бросания, мы можем свести задачу к такой: сколькими различными способами можно из 8 нумеров выбрать 2? Но это явно напоминает задачу из § 1: из 8 членов завкома надо выбрать двух делегатов на конференцию: сколько имеется вариантов результата выборов? В обоих случаях из 8 нумеров надо выбрать 2. В первом случае нумеруются бросания; во втором случае—члены завкома. Естественно, что ответ на обе задачи выражается одним и тем же числом. Точно так же число 56, лежащее на восьмой диагонали паскалева треугольника, есть число вариантов трехкратного выпадения герба при 8 бросаниях и в то же время есть ответ на вопрoс: сколько имеется вариантов— выбрать 3 человека из 8 человек? . Итак, числа, лежащие на диагоналях паскалевой таблицы, представляют собой числа сочетаний: на 5-й диагонали —сочетаний из 5 элементов; на 6-й диагoнали—сочетаний из б элементов и т. д. Поэтому для определения чисел, входящих в паскалев треугольник, можно дать такие правила: Всякое число, лежащее в нулевом столбце, равно 1. Число, лежащее в первом столбце и n-й диагонали, равно Сn1 = n. Число, лежащее во втором столбце и n-й диагонали, равно
Число, лежащее в третьем столбце и n-й диагонали, равно
Теперь уже нетрудно будет вывести формулу Паскаля для любого фигурного числа. Пусть, например, требуется найти F63. В треугольнике Паскаля оно лежит в 3-м столбце и в 6-й строке. Чтобы можно было воспользоваться формулой сочетаний, надо узнать, на какой диагонали треугольника лежит число F63. С этой целью будем мысленно передвигаться от числа F63 по диагонали влево и вниз. При таком передвижении нижний индекс будет возрастать, а верхний убывать. В данном случае после F63 перейдём к числу F72, затем к числу F81. Дальше передвигаться не нужно, так как именно в первом столбце и значится нумер диагонали. Итак, надо взять число сочетаний из 8 элементов. По скольку элементов? По 3, так как наше фигурное число F63 находится в 3-м столбце: F63 = C83 В общем случае, чтобы найти значение фигурного числа Fnk, придётся для перехода на 1-й столбец сделать по диагонали k—1 перемещений, и нумер диагонали будет Fnk = Cn+k—1k Это и есть формула Паскаля для фигурных чисел. Остаётся показать, что эта формула даёт то же самое, что и формула Ферма. Это легко проверить.
|
и т. д.
