ГЛАВА IV.

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ.

5. Решение задачи о суммах Σn

Теперь мы обладаем достаточно сильными средствами, чтобы решить задачу   о  суммах   Σk т. е. найти сумму

1k + 2k+ 3k + ... + пk.

Для того чтобы найти сумму k-х степеней натурального ряда, мы поступим так. Вместо 1k + 2k+ 3k + ... + пk  будем складывать фигурные числа F1k +F2k+ ... + Fnk  получим Fn+1k, а затем учтём поправку, которую надо внести в этот результат.

На основании формулы Ферма, таблицу Тартальи можно представить в таком виде:

Будем считать известной сумму Σ1, и начнём с нахождения суммы квадратов Σ2,  — например, первой сотни чисел натурального ряда.

Как мы знаем,

F12 + F22+ F32 +  ... + F1002 = F1003

или короче:

Слагаемые этой суммы находятся во втором столбце таблицы. Любое т-е число этого столбца равно , или, после перемножения, .   Если мы   возьмём   первые 100 чисел второго   столбца, то  их можно будет представить в таком виде:

1/2 • 12 +  1/2 • 1 ,
1/2 • 22 +  1/2 • 2 ,
1/2 • 32 +  1/2 • 3 ,
..................................
1/2 • 992 +  1/2 • 99 ,
1/2 • 1002 +  1/2 • 100 .

Будем  складывать отдельно  первые слагаемые этих сумм и отдельно вторые слагаемые. Тогда получим:

1/2(12 + 22 + 32+ ... + 1002)  + 1/2(1+2 + 3 + ... +100)

или 1/2Σ2 + 1/2Σ1

С другой стороны, сумма первых 100 фигурных чисел второго порядка равна F1003 или, в общем виде, Fn3. Итак, получаем равенство:

В правой части равенства, после перемножения, получим . Hо в равенстве

1/2Σ2 + 1/2Σ1 = 1/6 (п3+3п2+2п)

нам известна сумма Σ1 и она равна . Следовательно, можно будет определить искомую сумму Σ2 из paвенства:

1/2Σ2 + 1/4(п2+п) = 1/6 (п3+3п2+2п)

или

1/2Σ2 + 1/4 п2+ 1/4 п  = 1/6 п3+ 1/2 п2 + 1/3 п

Отсюда

1/2Σ2  = 1/6 п3+ 1/4 п2 + 1/12 п

или окончательно:

Σ2  = 1/3 п3+ 1/2 п2 + 1/6 п

Этот  результат  по  существу  совпадает  с формулой (7) первой главы.

Перейдём к выводу формулы для Σ3 Теперь мы можем считать уже известными суммы Σ1 и Σ2 .  Подобно тому, как формулу для Σ2 мы вывели из рассмотрения равенства  , мы выведем формулу для Σ3 суммирования фигурных   чисел третьего порядка, т. е. из   равенства  Любое m-е число третьего порядка определяется формулой:

Поэтому, если, например, требуется найти сумму первых 100 чисел третьего столбца таблицы Паскаля, то можно эти числа представить следующей таблицей:

1/6 • 13 + 1/2 • 12 +  1/3 • 1 ,
1/6 • 23 + 1/2 • 22 +  1/3 • 2 ,
1/6 • 33 + 1/2 • 32 +  1/3 • 3 ,
1/6 • 43 + 1/2 • 42 +  1/3 • 4 ,
..................................
1/6 • 993 + 1/2 • 992 +  1/3 • 99 ,
1/6 • 1003 + 1/2 • 1002 +  1/3 • 100 .

Складывая отдельно первые, вторые и третьи члены, получим:

1/6(13+23+33+...+ 993+1003) + 1/2(12+22+32+...+ 992+1002)  + 1/3(1+2+3 +...+ 99+100)

или же короче 1/6Σ3 + 1/2Σ2 + 1/3Σ1

Вся эта сумма равна:

Или, в общем виде

Итак, мы получим равенство:

или

4Σ3 + 12Σ2 + 8Σ1 = n4 + 6 n3 + 11 n2 + 6 n

Подставляя в левую часть вместо Σ1 и Σ2 их значения получим:

4Σ3 + 12(1/3  n3 + 1/2  n2 +  1/6 n) + 8 (1/2  n2  + 1/2  n ) = n4 + 6 n3 + 11 n2 + 6 n

или

4Σ3 + 4 n3 + 6 n2 + 2 n + 4 n2 + 4 n = n4 + 6 n3 + 11 n2 + 6 n ; откуда следует:

Σ3 = 1/4 n4 + 1/2 n3 + 1/4 n2

Эта формула совпадает с формулой (6) первой главы.

Ничто не мешает двигаться и дальше по тому же пути; этот способ даёт возможность получать Σ4, Σ5 , и т. д., в то время как искусственные приемы предыдущей главы для этой цели оказываются непригодными.

Правда, выкладки будут становиться всё более длинными и утомительными, но никаких принципиальных затруднений на этом пути встретиться не может. При желании можно вывести все 11 формул Фаульхабера и даже превзойти его результаты, получив несколько дальнейших формул.

 
Hosted by uCoz