|
ГЛАВА V. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ? 1. Таблица Бюрги. Как известно, инженеры и техники всех стран пользуются счётной линейкой для быстрых практических вычислений. Если посмотреть на счётную линейку, то бросается в глаза, что деления на ней расставлены неравномерно: по мере продвижения к правому краю линейки деления идут всё чаще и чаще. Чтобы понять, каким образом устроена линейка, надо знать, по какому принципу ставятся на ней деления, какая закономерность лежит в основе неодинаковых расстояний между ними. Но объяснить это— значит дать, хотя бы в основных чертах, теорию логарифмов. Коснёмся сначала истории вопроса. Уже у старых французских математиков Орезма (1328—1382) и Шюкэ (его книга вышла в свет в 1489 г.) мы находим сопоставление арифметической и геометрической прогрессий. Вполне отчётливо это сопоставление высказано в «Общей аоифметике» Михаила Штифеля, вышедшей в 1544 г. Штифель рассматривал различные степени одного и того же числа, например, такой ряд:
Эту таблицу он продолжил и влево. Так как в верхнем ряду, если подвигаться влево, числа каждый раз уменьшаются в два раза, то дальше пойдут числа: 1; 1/2; 1/4 ; 1/8 ; 1/16 ; В нижнем ряду, при передвижении влево, числа уменьшаются на 1; получаются новые числа: 0; — 1, —2; —3; — 4;... В результате он дал таблицу:
Еспи перемножить какие-нибудь два числа верхнего ряда, например, 4 и 32 4 = 22; 32 = 25; 4 • 32 = 22 • 25 = (2 • 2) • (2 • 2 • 2• 2• 2) = 27. Ещё один пример. Произведение 1/8 • 128 даёт 16. Соответственные нижние числа будут: —3, 7, 4, причём (—3) + 7 = 4. В своей «Арифметике» Штифель пишет:
Свои замечания Штифель заканчивает такими словами: «Можно было бы написать целую книгу об этих замечательных свойствах числовых рядов, однако, здесь я этим ограничусь и пройду мимо с закрытыми глазами». Приблизительно через 70 лет после выхода в свет книги Штифеля, его идея была воплощена в жизнь в виде таблиц для вычислений одновременно и независимо друг от друга двумя математиками: швейцарцем Бюрги и шотландцем Непером. При этом Непер ввёл самое понятие логарифма и высказал ряд глубоких мыслей, сыгравших немалую роль в дальнейшем развитии математики. Мы начнём с таблиц Бюрги, так как они проще. Бюрги составил их в период 1603—1611 гг.; напечатаны они были в Праге в 1620 г.
Чтобы понять основную мысль Бюрги, лучше всего нам самим составить таблицу, подобную его таблице. Для этого рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1,01 и начальным членом а0 = 1: 1; 1,01; 1,012; 1,013; 1,014; . ..; 1,01n; 1,01n+1; ... Ниже помещена таблица, в которой имеются значения 240 членов этой прогрессии. Каждый может сам составить такую таблицу. Если например ( l + 1/100 )65 = 1,909 то следующим числом таблицы будет ( l + 1/100 )66 = 1,909 • 1,01 Умножаем, как обычно: 1,909 • 1,01 = 1,909 + 1,909 • 0,01, т. е.
Следующее число будет ( l + 1/100 )67 т. е.
При составлении таблиц встречается затруднение: как производить округление последних цифр? Ведь округляя первые числа ряда, мы этим самым влияем на последующие, и, может быть, незначительные погрешности в начале таблицы дадут большие отклонения в конце её. Чтобы избежать ошибки, приходится составлять такие «округлённые» таблицы с 7 или 8 десятичными знаками, и лишь потом оставлять в них 3 десятичных знака, как у нас. Но здесь мы не можем войти в обсуждение этих деталей. Прилагаемая таблица носит лишь учебный, вспомогательный характер.
В дальнейшем мы узнаем формулы, которые позволяют: 1) эти таблицы вычислять весьма быстро, Покажем теперь, как, имея под руками такую таблицу, можно производить с большой экономией времени различные вычисления, правда, лишь с некоторым приближением. Пусть требуется умножить 1,872 на 1,563. Посмотрев на таблицу, видим, что этим числам отвечают нумера n1 = 63; n2 = 45 *). *) Чтобы найти нумер по данному числу, мы в таблице находим число, сверху таблицы прочитываем десятки нумера (и сотни, если они есть), а в крайнем левом столбике—единицы. Складываем эти нумерa: n1 + n2 = 63 + 45 = 108 = n3. Этому нумеру n3, в таблице соответствует число 2,929. Поэтому 1,872 • 1,563 = 2,929. Объяснение следует из равенства: (1,01)63 • (1,01)45 = (1,01)108. При этом, как видим, числа п (нумера) складываются; числа (1,01)п перемножаются. Но не всегда вычисления проходят гладко. В таблице очень многие числа отсутствуют; точнее говоря, в таблице мы имеем только определённую сеть чисел. Как же поступить, если надо производить действия над промежуточными числами? Пусть, например, надо умножить 5,19 на 1,87. Этих чисел в таблице нет. Единственное, что остаётся сделать, —это брать, вместо заданных чисел, ближайшие к ним числа таблицы. Конечно, тогда и результат будет лишь приближённым, не говоря уже о том, что самые таблицы дают приближённые значения (1,01)п. Число 5,19 лежит между 5,165 и 5,216 ; ему соответствует число n, лежащее между 165 и 166; берём n1= 165 1/2 ; вместо числа 1,87 берём 1,872; соответствующее число n2 = 63. Тогда n1 + n2 = 165 1/2 + 63 = 228 1/2 . Результат будет заключаться между 9,668 и 9,765; если взять среднее между ними число, то получим 9,716. Произведя обычное умножение, получим 9,7053. Ошибка значительная *), но какая быстрота в вычислений! Если же необходима большая точность, то следует построить более подробные таблицы. *) Для многих задач техники такая точность вполне достаточна. Сам Бюрги построил таблицы степеней ( 1 + 1/10000 )п . Тогда при перемножении 5,19 • 1,87 результат в первых четырёх десятичных знаках будет точным. По этому поводу заметим, что отличие новой, современной, математики от старой, например, от древнегреческой, состоит в том, что во многих вопросах современная математика сначала как будто идёт на уступки, отказываясь от точного результата; но затем, путём углублённого анализа, добивается такого способа, который даёт возможность решить задачу с любой степенью точности, и таким обходным путём она достигает совершенной точности. Поэтому читатель должен терпеливо отнестись к этим неточным вычислениям, помня о том, что недостаток может быть восполнен и будет восполнен. Рассмотрим теперь деление чисел; это действие обратно умножению. Пусть надо разделить 9,52 на 2,95. Соответственные нумера: n1 = 226 1/2; n2 = 109. Вычитаем: 226 1/2 — 109 = 117 1/2; результат даётся соответствующим числом таблицы: 3,220. Объясняется это равенством: (1,01)226½ : (1,01)109 = (1,01)117½. Перейдём к более сложному действию — возвышению в степень. Пусть надо найти 1,167. Для числа 1,16 соответствующее «левое» число (нумер) п есть 15. Умножаем 15•7 = 105. «Левому» числу п = 105 соответствует число таблицы 2,843. Поэтому имеем приближённое равенство: 1,167 ≈ 2,84. Объяснение таково: 1,16 ≈ (1,01)15; 1,167 = (1,0115)7= 1,0115•7= 1,01105. При возвышении (1,01п) в 7-ю степень показатель п умножается на число 7. Таким образом, возвышение в степень k, благодаря таблице, заменяется умножением на число k. Как уже упоминалось, возвышение в степень иногда называют пятым действием арифметики. Перейдем теперь к шестому действию, к извлечению корня. Если (1,01п)k = l,01пk, то обратно k√1,01n = 1,01n / k. Пусть требуется извлечь 5√8,4. Так как 8,4 есть (1,01)214, то 5√8,4. = 5√1,01214, т. е. 1,01214 / 5 =1,0143; «левому» числу (нумеру) 43 в таблице соответствует число 1,533. Поэтому 5√8,4 =1,53. Извлечение корня степени к приводится к делению «левого» числа на число k. Подведём итоги. При вычислениях с помощью таблицы Бюрги производится:
Если расположить все шесть действий по ступеням
то можно сказать, что при вычислениях с помощью таблиц Бюрги мы действия второй ступени сводим к действиям первой ступени, а действия третьей ступени — к действиям второй. Важно ещё отметить, что это понижение на одну ступень делает возможным производить шестое действие —извлечение корня, которое иным путём выполнять нелегко. Сам Бюрги за начальный член прогрессии а0 взял не 1, а число 108 = 100 000 000 (сто миллионов); знаменатель прогрессии у него равен ( 1 + 1/10000 ) . Поэтому у него каждое число больше предыдущего на 1/10000 этого предыдущего. «Левые» числа таблицы, т. е. числа п, Бюрги берёт увеличенными в 10 раз; этот факт, по существу, значения не имеет. Числа 10п, представляющие собой арифметическую прогрессию, у Бюрги были отпечатаны красным шрифтом; числа геометрического ряда, т.е. 108 • ( 1 + 1/10000 )n —чёрным шрифтом. Поэтому, если все чёрные числа таблицы Бюрги разделить на 108, а все красные разделить на 10, то его таблица принципиально не будет отличаться от нашей. Но таблица Бюрги, конечно, давала возможность производить гораздо более точные вычисления, чем построенная нами таблица. Читатель может составить себе представление о ней по прилагаемой фотографии одной из её страниц.
Бюрги продолжает свою таблицу до тех пор, пока исходное число 108 не оказывается увеличенным в 10 раз, т. е. до 109 = 1 000 000 000 (тысяча миллионов). И Бюрги, как и нам, приходилось, конечно, округлять последние десятичные знаки. Он высчитал, что если взять показатель n = 23 027, то число 108 • (1,0001)23027 будет меньше чем 109; если же взять п = 23 028, то число 108 • (1,0001)23028 будет больше чем 109. Несмотря на то, что таблица Бюрги гораздо точнее, чем построенная нами, однако, и у нас ( l + 1/100 )231 = 9,959, а ( l + 1/100 )232 = 10,06; таким образом, лестница «во сколько», со знаменателем q =1,0001, не так уж сильно отличается от такой же лестницы при q = 1,01 Полезно отметить для дальнейшего, что в таблице Бюрги высота 10000-й ступеньки равна 108 • ( 1 + 1/10000 )10000 = 27 181 459; иначе говоря, ( 1 + 1/10000 )10000 = 2,7181459 В нашей таблице имеется ( 1 + 1/100 )100 = 2,705 И то и другое число близко к некоторому числу, имекщему важное значение в математике,—к числу е. С этим числом е = 2,71828... мы ещё встретимся.
|
