|
ГЛАВА V.
ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?
2. Гигантский труд (таблица Непера).
Таблицы, составленные Непером, гораздо обширнее и точнее таблиц Бюрги. Сверх того, Непер подарил нам новую блестящую идею: он построил новый тип связи двух переменных, новую функциональную зависимость. Эта идея прекрасна сама по себе, как замечательное теоретическое достижение, и вместе с тем, она теснейшим образом связана с практическими вычислениями; таким образом получилось гармоническое сочетание теории и практики. Однако существо идеи Непера мы изложим в следующем
параграфе. Здесь же мы рассмотрим, как Непер составил свои трудоёмкие таблицы. Это рассмотрение покажет нам, какое необычайное трудолюбие требовалось, чтобы в 1614 году подарить современникам «Описание удивительной таблицы логарифмов», над которыми он трудился около 20 лет. Приведём несколько строк из предисловия Непера к его труду.
«Уведомление. Так как вычисление этой таблицы, которое должно было бы выпопняться при участии многих вычислителей, сделано трудом одного человека, то не удивительно, если в неё вкрались многие ошибки. Произошли ли эти ошибки вследствие утомления вычислителя или по небрежности типографа, за них прошу извинения у благосклонных читателей.
Однако, если я увижу, что учёным приятна польза этого изобретения, то может быть в скором времени я дам объяснение способа, как улучшить это сочинение, чтобы трудом многих вычислителей выпустить его в свет более точно исполненным, чем было возможно для одного. Ничто сначала не бывает совершенным».
Это обещанное сочинение с объяснением способа составления таблиц появилось в свет в 1619 г., уже после смерти автора.
Переходим к изложению того, как Непер составил свои «удивительные» таблицы. Прежде всего отметим, что таблицы Непера состоят из трёх последовательно составленных пар прогрессий, подводящих к окончательной таблице.
В отличие от таблиц Бюрги, у Непера геометрическая прогрессия не возрастает, а убывает. Знаменатель прогрессии у него ещё ближе к 1, чем у Бюрги: у Бюрги мы имели q = l + 1/104 у Непера же q = l — 1/107 . Таким образом, каждый последующий член ряда меньше предыдущего на одну десятимиллионную часть его. Мы получаем прогрессию, весьма медленно убывающую. Идеалом был бы непрерывно
изменяющийся числовой ряд, и мы в следующем параграфе увидим, что Непер уже имел в своём воображении идею (образ) такого непрерывного изменения.
Сначала составляется 1-я вспомогательная таблица. Берётся пара рядов: геометрическая лестница и арифметическая лестница. За нулевой член первой взято:
у0 = 107 = 10 000 000; знаменатель q = l — 1/107. Имеем:
уm = у0qm, где m = 1, 2, 3, ...,99,100.
Последнее число близко к целому числу 9 999 900, отношение которого к начальному числу 107 есть 
Какой же арифметический ряд будет соответствовать этому геометрическому? Самому первому (нулевому) члену у0 Непер ставит в соответствие 0 (нуль).
Основная задача состояла в следующем: какое число α соответствует члену
у1 = у0 q = 107 ( l — 1/107) = 9 999 999, т. е. какова разность соответствующей арифметической прогрессии? Ведь в дальнейшем будет проще: мы α умножим на 2, на 3, на 4 и т. д. И вот Непер взял для α значение, удовлетворяющее неравенству:
1 < α < 1,000000 1000000 1.
Почему Непер выбрал имении это значение, читатель узнает в конце следующего параграфа (§ 3).
Отсюда, умножая указанные границы величины α последовательно на 2, 3, 4, 5, ..., получим границы для 2-го, 3-го, 4-го, 5-го членов арифметического ряда.
Таким образом Непер нашёл границы для величины, соответствующей 100-му члену геометрического ряда: 100 < х100 < 100, 0000 1 0000001, так что имеет место соответствие
х100 <——> y100 = 99 999 00, 0004950.
За приближённое значение х100 Непер, естественно, принимает полусумму найденных границ и получает:
х100 (соответ. y100 = 9999900, 0004950) = 100, 0000050. В настоящее время, пользуясь точной формулой в виде ряда, можно получить:
х100 = 100,00000 5 000000 333.
Неперу было желательно округлить значение у и подсчитать соответствующее значение х.
В следующем параграфе (§ 3) читатель узнает, как он, благодаря своей блестящей теоретической идее, справился с этим затруднением.
После подсчёта Непер находит такой ответ:
100, 000 500 049 5.
В дальнейшем мы будем называть числа уi геометрического ряда «обычными» числами, а соответствующие им числа xi арифметического ряда «искусственными», или же логарифмами.
Затем Непер приступает к составлению II вспомогательной таблицы. Теперь он составляет геометрическую лестницу с большими уступами, т. е. со знаменателем q, более отличным от 1. Попрежнему за начальный член берётся число у0 = 107 ; за следующий член берётся только что найденный последний член предыдущей таблицы с округлением, т. е. число 9 999 900. Его отношение к начальному равно:
Это и есть знаменатель q геометрического ряда II таблицы. Эта новая прогрессия доводится до 50-го члена, т.е. до числа  . Результаты вычисления приведём в том виде, в каком они даны в таблицах Непера. Дело в том, что (как позднее выяснилось) Непер допустил небольшую ошибку в вычислениях, и поэтому данные им значения несколько отклоняются от тех, которые он должен был получить.
Если бы Непер не сделал ошибки, то последнее число таблицы получилось бы иным, а именно: 9 995 001, 224804. Так как все дальнейшие вычисления Непера основаны на приведённом ошибочном значении y50, то оказалось, что, несмотря на всё трудолюбие Непера, последний, седьмой, знак в его таблицах неверен.
Как и раньше, и во II таблице имеем соответствие двух рядов:
Здесь, умножая β на 50, Непер находит:
x50 = 5000, 02500.
Последнее число II таблицы мало отличается от «круглого» числа 9 995 000. Поэтому и здесь Непер ищет число арифметического ряда, соответствующее круглому числу у = 9995 000. Он находит:
(у = 9 995 000) <——> (х = 5001, 2485357).
Отношение этого числа у к первоначальному 107 равно A потому Непер имеет возможность построить новую геометрическую прогрессию ,со знаменателем q = 1 — 1/2000; при этом опять у0 = 107 .
Здесь берётся только 20 членов:
Как и выше, имеет место соответствие:
Находим γ • 20 = 5001,2485357 • 20 = 100024,970774.
Этому х20 соответствует у20 = 9900473,578080.
Переходя к «округлённому» числу у = 9 900 000, Непер получает соответствие:
(число у = 9 900 000) <——> (число х = 100 503,3210291).
Но последнее круглое число, по отношению к начальному у0 = 107 составляет долю-дробь 
Итак, когда отношение двух «обычных» чисел уi оказалось равным 1 — 1/100, то соответствующая дистанция (разность) «искусственных» чисел xi равна 100 503,2321. Добавим ещё из предыдущего (из II таблицы), что когда отношение «обычных» оказалось равным 1 — 1/2000, то разность «искусственных» чисел xi равна 5001, 248.
Эти два основных результата Непер кладёт в основание последней (4-ой) фундаментальной таблицы, которую он называет Tabula radicalis. Её расположение и характер можно видеть из следующей схемы:
Начальные числа 1-го, 2-го, 3-го, ... столбцов составляют убывающий геометрический ряд со знаменателем 99/100 = 1 — 1/100 ; внутри же каждого столбца имеется прогрессия со знаменателем 1999/2000 = 1 — 1/2000
Дадим теперь сводную таблицу, позволяющую обозреть связь всех четырёх таблиц Непера:
Радикальная таблица доведена до числа 4 998 609,4034,близкого к половине начального числа у0 = 107. И здесь снова Непер переходит к круглому числу 5 • 106 и находит соответствующее ему число х.
(обычное число у = 5 000 000) <——> (искусств, число х = 6 931 469, 22).
Вот скольких трудов стоило Неперу нахождение «искусственного» числа х, соответствующего «обычному» числу у = 1/2 • 107 ( х — логарифм числа 1/2 ) . Если эту гигантскую двойную «лестницу» продолжить дальше, то можно было бы от 1/2 дойти до 1/4, при этом последнее искусственное число х удвоится, т. е.: числу у0/4 будет соответствовать число х =2 • 6931469 = 13 862 938.
Если числа уi дойдут до 1/8 у0, то для соответствующего х получим 3 • 6931469 и т. д.
Непер имел терпение продолжить эти свои вычисления и дойти в процессе уменьшения чисел уi до 1, т. е. до 1/ 107 исходного числа. В результате получилась такая таблица:
___________________
| 