|
ГЛАВА V. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ? 4. Число Непера. В предыдущем параграфе мы достаточно подробно выяснили характер движения, изучением которого занимался Непер. Параллельно с этим мы рассматривали кривую, представляющую график этого движения. Но всего сказанного недостаточно для того, чтобы на этой основе производить какие-либо вычисления. Для таких вычислений необходимо знать хотя бы одну пару значений t1 и s1, т. е. знать расстояние движущегося тела от начальной точки для определённого момента времени t = t1 (кроме начальной пары значений t = 0, s = l ). Геометрически это означает, что для построения кривой Непера необходимо знать координаты ещё какой-нибудь её точки. Например, если знать, что при t = l,6 часа s = 5 м, то можно было бы вычислить расстояния для любого момента времени, т. е. установить, скажем, что при t = 0,8, s = 5½ = 2√5 ; при t = 0,4, s = 5¼ = 4√5 ; при t = 3,2 часа, s = 52 = 25 и т. д. Но откуда взять такую пару чисел? Ведь нам известен только характер кривой—внутренний закон движения. Самой кривой ещё нет, а потому нельзя производить даже приближённых расчётов, какие можно было бы сделать, если бы имелся график. Положение в этом случае сходно с тем, в каком оказался бы вычислитель, который захотел бы определить длину окружности, зная закон её построения, но не имея перед собой её чертежа. При разыскании пары чисел, соответствующих друг другу в движении Непера, естественно искать значение s, отвечающее значению t = 1, или, выражаясь языком механики: искать расстояние от начальной точки, на котором окажется движущееся тело спустя 1 час после начала движения (черт. 48).
Идеальным решением вопроса было бы «схватить», т. е. точно указать число, выражающее это расстояние. Но если это невозможно, то полным решением можно считать и такое, когда удаётся как угодно сблизить границы, между которыми должно находиться искомое число. Эта постановка вопроса вполне аналогична той, которая имеет место при нахождении числа π. Там исходят из определения: Это может быть истолковано в образах механики следующим путём. Если представить себе движение, более медленное, чем движение Непера, и другое движение, более быстрое, то движение Непера окажется предельным случаем для движений 1-го и 2-го рода. Рассмотрим более подробно эти оба типа движения.
Движение 1-го рода (черт. 49,а). Разделим единицу времени (1 час) на п равных долей, например, на 10 долей. Как и в движении Непера, пусть тело, например, шарик, начинает движение от начального расстояния s0= 1, и пусть начальная скорость равна 1 м/час. Дадим шарику равномерно двигаться с этой скоростью в течение 1/10 часа. За этот промежуток времени шарик пройдёт расстояние, равное 1/10 м, и в конце этого промежутка окажется на расстоянии 1 1/10 м от начальной точки. Пусть в момент t1 = 1/10 часа шарик неожиданно получает новую скорость, численно равную расстоянию шарика от начальной точки в этот момент, т. е. равную 1 1/10 м\час, и пусть он движется с этой новой скоростью равномерно в течение 1/10 часа. За второй промежуток времени он пройдёт расстояние, равное 11/10 • 1/10 м. В результате в момент t2= 2/10 часа он окажется на расстоянии 1 1/10 + 11/10 • 1/10 = 11/10 ( 1 + 1/10) = ( 11/10 )2 от начальной точки. В момент t2= 2/10 часа шарик мгновенно приобретает новую скорость, снова численно равную достигнутому в этот момент расстоянию от начальной точки, т. е. ( 11/10 )2 м/час, и будет двигаться равномерно с этой скоростью в течение 3-го промежутка времени от t= 2/10 до t = 3/10 часа. За этот третий промежуток времени шарик пройдёт расстояние ( 11/10 )2 • 1/10 м и таким образом окажется в момент t3= 3/10 часа на расстоянии, равном ( 11/10 )2 + ( 11/10 )2 • 1/10 = ( 11/10 )2 ( 1 + 1/10) = ( 11/10 )3 или ( 1 + 1/10)3 от начальной точки; так будем поступать и далее. Как видно, расстояния (дистанции) движущегося шарика от начальной точки в последовательные моменты времени составляют геометрическую прогрессию: s0 = 1, s1 = ( 1 + 1/10), s2 = ( 1 + 1/10)2, s3 = ( 1 + 1/10)3, s4 = ( 1 + 1/10)4, ... Описанное сейчас движение, очевидно, является более медленным сравнительно с движением по закону Непера: там скорость движения изменяется непрерывно, всё время возрастая, здесь же она возрастает скачками лишь в отдельные мгновения, в конце 10-х долей часа, оставаясь постоянной в течение каждого промежутка. Конечно, число долей n =10, на которое было раздроблено время движения, взято лишь в качестве примера. С таким же успехом можно было бы взять значения n =20; n = 40; n = 80 и т. д. При переходе от значения n =10 к значению n = 20, расстояние, проходимое шариком за тот же интервал времени, увеличится. Это вполне понятно: во втором случае скорость будет чаще изменяться в сторону увеличения. Пользуясь формулами, это увеличение можно подсчитать точно. Так, при n =10 расстояние шарика от начальной точки в момент t = 1/10 часа равно ( 1 + 1/10) м; при п = 20 в тот же момент t = 1/10 расстояние его будет равно ( 1 + 1/20)2 = 1 + 2 • 1/20 + ( 1/20)2 = 1 + 1/10 + 1/400 м а эта величина больше чем 1 + 1/10 м. Точно так же ( 1 + 1/40)40 больше, чем ( 1 + 1/20)20 ; ( 1 + 1/80)80 > ( 1 + 1/40)40 и так далее. Получается, таким образом, ряд неравенств, выражающих всё увеличивающееся расстояние, проходимое шариком за 1 час при увеличении числа «скачков скорости» его движения. Казалось бы, что увеличивая п до бесконечности мы и для величины ( 1 + 1/n )n , т. е. для проходимого шариком за 1 час расстояния, будем получать сколь угодно большие значения. Однако такое заключение будет ошибочным. Покажем это. При нашем подходе снизу, со стороны меньших значений, скорость движения меньше, чем она должна была бы быть при движении по принципу Непера. A именно, если шарик будет двигаться равномерно с достигнутой скоростью хотя бы в течение 1/100 секунды, то пройденное им расстояние будет меньшим, чем по неперову закону, где скорость его беспрерывно возрастает. Чтобы окончательно решить вопрос об ограниченности или неограниченности величин ( 1 + 1/n )n при безграничном возрастании п, рассмотрим теперь движение другого рода, более быстрое, чем неперово. В определении числа е это новое движение будет играть такую же роль, как описанные многоугольники при нахождении площади круга. Это новое движение охарактеризуем следующим образом. Движение 2-го рода (черт. 49,б). Расставим вдоль линии движения (для простоты —прямолинейного) ряд точек, как бы ряд шлагбаумов, на расстояниях от начала, равных ( 1 + 1/10), ( 1 + 1/10)2, ( 1 + 1/10)3, ... , ( 1 + 1/10)9, ( 1 + 1/10)10, ( 1 + 1/10)11, . Здесь добавлена ещё одна дополнительная точка, для цели, которая станет ясной из дальнейшего. Предположим теперь (фантазия!), что внутри движущейся материальной точки, внутри шарика, находится разумное существо, которое может регулировать его скорость. Это существо из каждой точки деления пути движения (шлагбаума) смотрит «вперёд» на следующую точку; например, в точке пути ( 1 + 1/10)2 смотрит на следующий шлагбаум с пометкой ( 1 + 1/10)3 и на интервале пути ( 1 + 1/10)2, ... , ( 1 + 1/10)3 мнаправляет шарик с постоянной скоростью v = ( 1 + 1/10)3 м/час, т. е. со скоростью, численно равною показанию следующего шлагбаума. Далее, в точке пути s = ( 1 + 1/10)3 наш «водитель» смотрит на следующий шлагбаум с пометкой ( 1 + 1/10)4 и придаёт шарику на этом интервале пути скорость, равную ( 1 + 1/10)4 м/час и т. д. Ясно, что в этом случае шарик будет всё время двигаться со скоростью, большей, чем следовало бы по принципу Непера, так как теперь скорость постоянно будет численно большей, чем расстояние шарика от начальной точки. Равенство v = s, т. е. скорость = длине пути в отдельные мгновения, при переходе шлагбаумов, существенного значения не имеет. А потому и длина пути, пройденного при таком движении, будет большей, чем при неперовом. Подсчитаем путь, проходимый за 1 час при новом движении. С этой целью узнаем, сколько времени требуется шарику для прохождения расстояния между двумя соседними шлагбаумами. Возьмём для примера интервал пути ( 1 + 1/10)2 ... ( 1 + 1/10)3 . Расстояние здесь равно: ( 1 + 1/10)3 — ( 1 + 1/10)2 = ( 1 + 1/10)2 ( 1 + 1/10 — 1) = ( 1 + 1/10)2 • 1/10 Скорость равна показанию последующего шлагбаума, т. е. ( 1 + 1/10)3 м/час. Поэтому промежуток времени будет равен Для следующего идтервала пути ( 1 + 1/10)3 ... ( 1 + 1/10)4 расстояние равно ( 1 + 1/10)4 — ( 1 + 1/10)3 = ( 1 + 1/10)3 • 1/10 , Деля это расстояние на скорость, равную ( 1 + 1/10)4 получим опять 1/11 часа, т. е. промежуток времени остается прежним. Итак, на каждую дистанцию между шлагбаумами при движении II рода тратится не 1/10 часа, а 1/11 часа. Поэтому за 1 час наш шарик сумеет пройти не 10, а 11 дистанций, т. е. в конце 1 часа времени шарик окажется на расстоянии ( 1 + 1/10)11 м. Можно доказать, как выше было доказано для движения 1-го рода, что и случае движения 2-го рода длина пути, пройденного за 1 час, будет уменьшаться, если увеличивать в 2, 4, 8 раз число долей, на которое делится интервал времени в 1 час. Расстояние, действительно проходимое за 1 час по закону Непера, мы выше обозначили через е. Сопоставляя теперь движение 1-го рода, движение Непера и движение 2-го рода, получаем неравенство: ( 1 + 1/10)10< е < ( 1 + 1/10)11 (черт. 49) Такое же неравенство можно написать для случая п = 20; п = 40 и т. д. На черт. 49 положено п = 5. Таким образом, получаем для любого значения п: ( 1 + 1/n )n < е < ( 1 + 1/n )n+1 Если теперь увеличивать п до бесконечности, то количество, стоящее слева, и количество, стоящее справа, будут неограниченно сближаться, подобно тому, как это имеет место для площадей вписанного и описанного многоугольников. Это можно показать так: отношение правого числа к левому равно ( 1 + 1/n ), а это количество при неограниченном увеличении
п стремится к 1. Общий предел чисел слева и чисел справа и есть число е, иногда называемое «неперовым числом» , хотя Непер его и не рассматривал. Полезно отметить, что если для числа е принять приближённое значение ( 1 + 1/100)101 = ( 1 + 1/100)100 • ( 1 + 1/100) или ( 1 + 1/100)100 + ( 1 + 1/100)100 • 1/100 т. е. на 1% больше числа слева, равного ( 1 + 1/100)100 , а искомое число е заключено между ними. Взяв п =1000, т. е. приняв е = ( 1 + 1/1000)1000 , мы сделаем относительную погрешность, меньшую 1/1000. Таким образом, мы не только можем приближённо высчитать число е, но и знаем при этом заранее границу совершаемой погрешности. Добавим теперь некоторые сведения, касающиеся числа е, без доказательства. Гораздо позднее, через 130 лет после смерти Непера, великий математик Эйлер в своем сочинении «Введение в Анализ бесконечно малых» (1748 г.) дал замечательную формулу для числа е:
и т. д. до бесконечности. Приблизительно е = 2,72; точнее е = 2,718 и так далее. Сама буква «e» выбрана позднее, именно как начальная буква фамилии Euler. Мало того: оказалось, что имеет место ещё более замечательное равенство. Длина пути s, проходимого при неперовом движении за любое число t часов, равна:
|Эта обратная зависимость, обратная функция, и называется логарифмом. Обозначим её временно особым знаком: t = ψ (s), Определить существо этой обратной ункции —это значит ответить на вопрос: как найти то количество времени, которое требуется, чтобы шарик при неперовом движении оказался на данном расстоянии s от начальной точки пути. Покуда мы знаем только, что при s = 1 t = ψ (1) = 0, при s = е t = ψ (е) = l. Отсюда видно, что число «е» играет исключительно важную роль в теории логарифмов. Если за 1 час шарик в неперовом движении проходит е ≈ 2,72 м, то за 2 часа он пройдёт е2 = (2,72)2 м, за 3 часа е3 м, за 1/2 часа е½ = √e м, за 1/5 часа е1/5 = 5√e м и т. д. В начальный момент t = 0 расстояние s0 равно 1 м. Если время отсчитывать назад, то при t = — 1 час длина пути s = 1/e м; при t = — 2, Следует, однако, отметить, что сам изобретатель неперова движения—Джон Непер —не разработал своей теории настолько, чтобы специально рассматривать число «е». Его целью было создать таблицы, которые облегчили бы человечеству технику вычислений. Этой цели он достиг в значительной степени. В заключение дадим более точное значение е: е = 2,7 1828 1828 4590 45... Нам необходимо ещё остановиться на одном практически важном вопросе. Если при теоретическом рассмотрении вопроса само собой, как мы видели, всплыло особое число е, то при применении таблиц Непера к вычислениям столкнулись с особой ролью числа 10 в нашем десятичном счислении. Ведь если у нас сейчас получилось, что ψ (10) =1, ψ (102) = 2, ψ (103) = 3, ... Всякий ученик знает, какие удобства для практики вычислений представляет система логарифмов с основанием, равным 10. Имея целью такое преобразование, напомним, что, как видно из § 3, практическая применимость всего изобретения Непера основана на соответствии двух рядов чисел: расстояния si и протекшего времени ti при движении особого рода, и при этом: Числа 1-го рода А, В перемножаются: А• В = Р, а числа II-го рода Но если все числа II-го рода (искусственные) одновременно умножить на один и тот же коэффициент «k», то указанное соответствие: (умножение чисел А) <—> (сложение чисел α) не нарушится. Теперь только будет: когда А • В = Р, то одновременно kα + kβ = kγ. Таким образом, мы можем при переходе к десятичной системе оставить по существу нетронутым принцип движения Непера, но отсчёт протекающего времени вести в ином масштабе, например, считать «новую минуту» в 21/2 раза больше «старой». Как же перейти к новой единице «обычных» чисел у — к числу «10»? Уже при рассмотрении таблицы Бюрги отмечено, что
На языке механики это означает: если шарик выходит из начальной точки s0 = l м со скоростью 1 м/час, и если скорость изменяется каждую 1/10000 часа, то дистанция 10 м (от нулевой точки) будет достигнута между 23027 и 23028 моментами, т. е. между Движение по Бюрги не совсем точное, движение по Неперу точнее, но даже если рассматривать идеальное движение по закону Непера, то и тогда оказывается по точному подсчёту, что дистанция «10 м» достигается в момент t = 2,3026 часа. Теперь можно принять «2,3026 часа» за «новый 1 час». Старый час был «натуральной» единицей времени, новый час будет «искусственной» единицей, специально придуманной для целей, важных практически, но не связанных с внутренней сущностью теории логарифмов. Этот новый час был фактически введён, и в результате вместо старых, неперовых, натуральных логарифмов вошли в употребление новые, так называемые «десятичные» логарифмы. Если пользоваться графическим изображением неперова движения, то рассматриваемое нами преобразование сводится к укорочению в определённом масштабе (1 :2,3026) оси Ot или же Ох (черт. 50).
Поясним это таблицей:
Таким образом, переход от логарифмических таблиц с одним основанием к таблицам с другим основанием совершается при помощи переходного коэффициента, наподобие перехода от франка к доллару: 1 доллар = 51/4 франка; 1 франк равен 4/21 доллара. Непер построил огромные таблицы, дающие значения логарифмов для последовательного ряда чисел (у него — для синусов). Труды Непера стали известны Бриггу. Генри Бригг (1561-1630 гг.) задумал составить более точные таблицы, а именно, с 14 десятичными знаками. В ходе работы ему пришлось с особенной точностью и тщательностью определить логарифмы некоторых отдельных, так сказать, «основных» чисел,например log 2 и log 10. При этом Бригг применил весьма остроумные приёмы. Помимо этого, способ вычисления Бригга имеет глубокое принципиальное значение. Поэтому весьма важно с ним ознакомиться: это даст нам возможность ещё глубже проникнуть в существо понятия логарифма. Мы видели, что (1 + 1/100)100 ≈ e ; (1 + 1/200)200 ≈ e ; (1 + 1/1000)1000 ≈ e ; ... ; при этом равенство тем ближе к точному, чем больше n. Отсюда следует, что и обратно: 100√e ≈ 1 + 1/100 , 200√e ≈ 1 + 1/200 , 1000√e ≈ 1 + 1/1000 и так далее. Если теперь выберем для п чрезвычайно большое значение и если обозначим n√e = 1+ α, 2n√e = 1+ β, то с весьма малой (относительной) погрешностью можно принять, что α = 2β, или β = 1/2 α. В самом деле, имеет место равенство: 1 + α = (1 + β)2 = = 1+2β + β2, а так как β чрезвычайно мало, то величиной β2 можно пренебречь. Итак, приходим к заключению: Перейдём опять к модели движения. Если 1 час времени, в течение которого достигается расстояние e = 2,718... , мы мысленно разделим, например, на 106 (миллион) равных долей, то этим мы для величины пути s получаем «лестницу» из 106 ступенек, причём высота 1-ой ступеньки (после нулевой) Пусть теперь другая материальная точка, выйдя из точки s = 1, так же за
Будем теперь исходить от числа, равного е2 = (2,718...)2. Требуется для s = е2 найти соответствующее время t (в данном случае мы, на основании вышеизложенного знаем ответ: t должно быть равно 2. Но нам нужна схема рассуждения с тем, чтобы наметить путь нахождения t при любом значении s). С этой целью мы построим мысленно геометрическую лестницу с таким же числом п = 106 ступеней, как и раньше. Первая после нулевой ступенька ряда будет теперь равна
Если теперь избыток над единицей, т. е. величину 2α , умножить опять на 106, то получим уже не Приведённое рассуждение позволяет теперь разъяснить придуманный Бриггом оригинальный путь нахождения значения t при любом s, т. е. нахождения логарифма любого числа А. Способ Бригга — следующий (черт. 51). Пусть, например А = 5. Представим себе, что при неперовом движении материальная точка достигла за неизвестный промежуток времени t = x расстояния s =5 (при начальном s0 = l ). Найти log 5, это значит — найти х. На основании изложенного поступаем так. Извлекаем из 5 корень весьма высокой степени. Проще всего извлекать последовательно один за другим квадратный корень:
и так далее. Если, например, извлекать квадратный корень 10 раз подряд, то получим корень 210= 1024-й степени. Получив значение корня 1024√А =1+α , надо полученный «излишек» α умножить на 1024. Итак, приближённо: logA = (1024√А — l) •1024. Можно получить более точный результат, вычислив (2048√А — l) •2048 ещё точнее будет (4096√А — 1) • 4096 и так далее... Теоретически рассуждая, можно получить результат, сколь угодно близкий к точному, если неограниченно увеличивать п. Таким образом «в пределе» получаем абсолютно точное равенство: log A = lim ( n√А — 1) • п при п —> ∞ . Но эта же формула практически полезна и тогда, когда, не переходя к пределу, вычисляют логарифм приближённо. Интересно отметить трудолюбие и упорство Бригга. Например, для нахождения log 10 он извлекал квадратный корень из 10 подряд 54 раза и получил такое значение:
|
Здесь
расстояние тела от начальной точки спустя 1 час после начала движения обозначается числом «e». И подобно тому, как число π —площадь круга при радиусе, равном единице, является общим пределом площадей вписанных и описанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон,— так и число е может быть получено при помощи построения двух рядов чисел: один ряд состоит из возрастающих чисел, приближающихся к числу е
снизу, со стороны меньших значений, а другой — из чисел убывающих и приближающихся к числу е сверху, со стороны бoльших значений.
часа. 
дo бесконечности. Эта последняя формула даёт решение проблемы: она определяет s, как функцию от t: s = f (t). Но для целей настоящей книги важнее решить обратную задачу, определить обратную функцию, т. е. найти формулу, позволяющую выразить время t через длину пути s.
м и т. д. 
складываются: 
.
Следовательно, имеем ряд приближённых равенств:
как раз равна 
м (приближённо). 
м (черт. 51).
На языке механики это означает, что второй шарик (см. выше) при равномерном движении со скоростью 1 м/час прошёл бы расстояние, равное 2 м, иными словами, расстояние s = e2 достигается
за 2 часа. Итак, при s = e2 t = 2; аналогично при s = e3 t = 3; 
