|
ГЛАВА VI. КЛЮЧ МЕРКАТОРА. 4. Принцип устройства счётной линейки. Счётная линейка есть инструмент, позволяющий без таблиц логарифмов делать те же вычисления, которые делаются при помощи этих таблиц. При этом вычисления производятся гораздо быстрее, но не столь точно.
Если для основной гиперболы, при условии х1 • х2 = х3, имеет место равенство: пл.Р0Р1М1В + пл.Р0Р2М2В = пл.Р0Р3М3В, то и для новой линии CN будет соблюдаться равенство: пл.Р0Р1N1C + пл.Р0Р2N2C = пл.Р0Р3N3C. Очевидно, можно и увеличить все ординаты, и взять кривую линию, идущую выше, чем основная линия ВМ. Такая возможность распоряжаться всей таблицей, т. е. умножать все логарифмы на постоянный коэффициент, оправдывает тот факт, что наряду с изложенной системой логарифмов—неперовой или «натуральной»— получила большое распространение другая система логарифмов—десятичная. Исторически она появилась позднее натуральной, и интересно отметить, что её первый составитель Бригг при её составлении советовался с изобретателем натуральных логарифмов — Непером. Новая десятичная система получается, если все значения логарифмов основной системы умножить на постоянный коэффициент, приблизительно равный 0,43429 .... Преимущества десятичной системы логарифмов читателю известны из курса алгебры. В таблице даны уже десятичные логарифмы.
Перейдём теперь к объяснению устройства счётной линейки. На черт. 69 вдоль оси Ох размечены деления 1; 1,2; 1,4; ...; 2,6; 2,8; соответственные ординаты представляют собой десятичные логарифмы.
Будем проектировать отмеченные точки логарифмической кривой на вертикальную ось Оу. Тогда получим на этой оси сеть неравностоящих точек, как показано на черт. 69; на этом чертеже рядом с отрезком ОА поставлен другой вертикальный отрезок, на котором нанесены обычные деления. Остроумие изобретателя счётной линейки заключается в том, что он обходится без всего этого чертежа. Он оставляет одну только вертикальную ось ОА, но ставит на ней не обычные числа, а против точки N ставит длину соответствующей абсциссы ОР = х. Таким образом на отрезке ОА откладываются ординаты у, а записываются соответствующие абсциссы х. Например, откладывается длина ON = у = lg 1,2 = 0,079, а против этой точки помечается число х =1,2; откладывается длина у = lg 1,8 = 0,255, а помечается число х =1,8 и так далее. Если оба отрезка ОА и ОС положить в горизонтальном положении, то получим нижнюю часть счётной линейки. Уже эта часть счётной линейки представляет собой в сжатом виде таблицу логарифмов, приблизительно с тремя десятичными знаками. В самой нижней части имеется обычная линейка с 500 делениями; если каждое мелкое деление мысленно разделить пополам, то будем иметь 1000 равных долей единицы, т. е. длины линейки. Если требуется, например, узнать lg 2,8, то надо сосчитать, сколько делений имеется от левого края до точки, помеченной 2,8; в данном случае будет 447 делений, т. е. lg 2,8 = 0,447. Таким же образом найдём: lg 2,4 = 0,380; lg 3,6 = 0,556 (приблизительно) и так далее. Но этого мало. Счётная линейка позволяет механизировать процесс умножения и деления. Для этой цели служит средняя часть линейки—«движок»; на нижней его строке имеется точная копия только что рассмотренной шкалы. Поясним, как при помощи этого движка автоматически производится умножение двух чисел. Пусть требуется перемножить два числа, например, 1,4 и 3. Отодвигаем движок настолько, чтобы его начальное деление приходилось против пометки 1,4 на неподвижной шкале (черт. 70).
На шкале движка отыскиваем пометку 3. Тогда против пометки 3 на неподвижной шкале найдём число 4,2, которое и есть произведение двух заданных чисел. Чем это объсняется? Перемещением движка мы произвели сложение двух отрезков. Первый отрезок на неподвижной шкале, от пометки 1 до пометки 1,4, по своей длине фактически равен не 1,4 ед., a lg l,4, т. е. 0,146 единицы; этот факт можно проверить по обычной линейке, расположенной в самом низу прибора. Далее, второй отрезок, взятый нами на движке от пометки 1 до пометки 3, по своей длине фактически равен не 3 ед., a lg 3 = 0,477 единицы. Мы произвели сложение обоих отрезков: 0,146 + 0,477 = 0,623. Какую же пометку мы прочитаем, если отойдём от левого края линейки на 0,623 её длины? Имеем: 0,146 = lg x1; 0,477 = lg х2 0,623 = lg x1 + lg x2. Но основное свойство логарифмов гласит: При умножении чисел x1 • x2 их логарифмы складываются. Значит, и обратно: при сложении логарифмов соответствующие им числа перемножаются: lg x1 + lg x2 = lg (x1 • x2), а потому: 0,623 = lg x1 + lg = lg l,4 + lg 3 = lg ( l,4 • 3) = lg 4,2. А это и означает, что после сложения обоих отрезков мы найдём пометку 4,2. Таким образом сложение отрезков, взятых на обеих шкалах, автоматически сопровождается умножением чисел, помеченных в концах этих отрезков. Мы не будем останавливаться на других действиях, которые можно производить с помощью счётной линейки, так как нам здесь важно было лишь установить принцип её устройства. Если бы читателю было предложено самому построить линейку, то он мог бы справиться с этим заданием. Для этой цели ему пришлось бы составить таблицу логарифмов (1) или (2), , а это он сумеет сделать, если воспользуется формулой Меркатора:
Для того же, чтобы узнать, откуда взялась эта формула, ему пришлось прочитать и продумать почти весь материал нашей книги. Теперь необычно расположенные деления на счётной линейке уже не будут казаться загадкой. Читатель знает, как рассчитать местоположение этих делений, чтобы шкала могла служить удобным инструментом для вычислений. |
