|
Глава I. Лестница «на сколько» Сумма квадратов и кубов. Вычисление суммы кубов Рассмотрим натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ... , взятых до некоторого значения п, например, до п = 500. Пусть каждое из этих чисел возведено в квадрат. Требуется найти сумму всех этих квадратов, т. е. сумму 12 + 22 + 32 + ... + 4992 + 5002. Нас интересует не прямой подсчёт, а формула, дающая возможность легко и быстро найти такую сумму. Рассматриваемую сумму квадратов кратко записывают так:
Знак Σ есть греческая буква «сигма». Этим знаком принято обозначать сумму сходных между собой слагаемых. Вместо буквы т надо подставлять последовательно числа ряда 1, 2, 3, ... , до 500. Если имеется п слагаемых, то сумма записывается так: В этой книге мы будем записывать такую сумму совсем кратко: Σ2 : значок 2 , должен напоминать, что суммируются вторые степени натуральных чисел. Рассмотрим вторую задачу, отличающуюся от первой тем, что вместо квадратов суммируются кубы чисел натурального ряда. Для краткости эту сумму обозначим знаком Σ3 т.е. Σ3 = 13 + 23 + 33 + ... + п3. Получить эту сумму непосредственным вычислением при большом п ещё труднее, чем Σ2 . Из истории математики известно, что задачи этого типа в течение многих веков занимали учёных различных стран. Вначале XVII в. Фаульхаберу (1580—1635) удалось найти формулы для сумм степеней Σ2 , Σ3 , Σ4 , ... , Σ11. Ход егo решения не сохранился, но формулы оказались правильными. Великие математики . Ферма и Паскаль дали общий метод решения этой задачи. До них существовали лишь кустарные приёмы нахождения той или иной отдельной суммы Σk . В этой главе мы остановимся именно на отдельных приёмах решения. Трудно установить, кому они принадлежат, так как передавались они из поколения в поколение. При этом начнём со второй задачи, т. е. нахождения суммы кубов Σ3 так как она решается проще. Решим эту задачу с помощью так называемой таблицы умножения Пифагора, которая каждому знакома с детских лет (черт. 6).
черт. 6 Рассмотрим сумму чисел, находящихся на чертеже между двумя жирными линиями например, сумму 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + 30 + 24 + 18 +12 + 6. Все слагаемые этой суммы делятся на 6. Поэтому их сумму можно записать в виде: 6 • 1+6 • 2 + 6 • 3 + 6 • 4 + 6 • 5 + 6 • 6 + 6 • 5 + 6 • 4 + 6 • 3 + 6 • 2 + 6 • 1, или же так 6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1). Согласно формуле (4) , сумма, стоящая в скобках, равна 62. Поэтому вся сумма чисел, лежащих в полосе между жирными линиями, равна 6 • 62 = 63. Сумма чисел, лежащих в полосе между следующими жирными линиями (7, 14,... ,49, ... , 14, 7) равна: 7 (1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2+1) = 7 • 72 = 73. Первая полоса или, лучше сказать, первый «угольник» таблицы Пифагора состоит из одного верхнего левого квадрата и даёт 13; вторая полоса даёт 23; третья даёт 33 и т. д.; последняя полоса даёт 103. Значит, сумма всех чисел, стоящих в таблице Пифагора, даёт:
Но сумму всех чисел таблицы можно сосчитать иначе, а именно — по строкам. Сумма чисел первой строки равна: 1 + 2 + 3 +...+ 9 +10; обозначим её через S1. Числа второй строки в 2 раза больше соответствующих чисел первой строки; поэтому и сумма их в 2 раза больше, т. е. равна 2S1 . Числа третьей строки в 3 раза больше соответствующих чисел первой строки. Поэтому их сумма равна 3S1; и так далее. Общая же сумма всех чисел таблицы, сложенных по строкам, равна: S1 + 2S1 + 3S1+... + 9S1 + 10S1. Эту последнюю сумму можно представить в виде: S( l + 2 + 3 +...+ 9 +10). Но сумма, стоящая в скобках, также равна S1 поэтому общая сумма равна S1 • S1 = S12 = ( l + 2 + 3 +...+ 9 + 10)2 . Таков результат подсчёта по строкам. Этот результат должен быть равен предыдущему, так как складывались те же числа таблицы, хотя и в другом порядке. Поэтому: 13 + 23 + 33+ ... + 93 + 103 = ( l + 2 + 3 +...+ 9 + 10)2. Рассуждение нисколько не изменится, если вместо пифагоровой таблицы из 10 строк и 10 столбцов рассматривать пифагорову таблицу, имеющую п строк и п столбцов. Получим равенство: 13 + 23 + 33+ ... + (п — 1)3 + п3 = (1 + 2 + 3 + ...+ п )2 Левую часть равенства мы выше условились обозначать через Σ3 . Сумму чисел натурального ряда 1 + 2 + 3 + ...+ п можно обозначить через Σ1 : значок 1 показывает, что числа натурального ряда взяты в первой степени. Тогда полученная нами формула может быть в сжатой форме записана так: Полученное соотношение (5) даёт практическую возможность быстро сосчитать сумму Σ3 до любого заданного значения п. Выше мы хотели вычислить Σ3 при значении п =500. Чтобы найти сумму 13 + 23 + 33+ ... + 5003, надо вычислить сперва Σ1 по формуле (3):
Далее: Σ3 = (Σ1)2 = (125 250)2 = 15 687 562 500. Дадим ещё один вывод формулы (5) при помощи чертежа (черт. 7).
черт. 7 Начиная с точки О, откладываем вертикально вниз последовательно отрезки ОА = 1 ед.; АВ = 2 ед.; ВС = 3 ед.; CD = 4 ед.; DЕ=5 ед.; EF = 6 ед. и т. д. Тогда отрезки ОA=1; ОВ = 3; ОС = 6; OD = 10; ОЕ = 15; OF = 21 и т. д. Такие же отрезки откладываем от точки О горизонтально вправо. На этих отрезках строим сеть клеток, равных 1 кв. ед. На нашем чертеже имеется всего 21 х 21 = 441 клетка. Посмотрим, сколько клеток заключается между двумя жирными линиями, границами квадратов. Первый участок содержит всего 1 = 13 клеток; Таким образом оказывается, что между: 0-й и 1-й жирной ломаной .... 1 = 13 клеток 1-й и 2 й » » .... 8 = 23 » Как видим, число клеток в каждом участке равно кубу нумера участка. Конечно, это не случайно, и можно доказать, что при продолжении таблицы всегда будут получаться последовательные «кубические» числа. Доказательство этого утверждения найдено ещё в сочинении одного арабского математика, жившего около 1000 года нашей эры. Пусть мы хотим подсчитать число клеток в участке с нумером т. Больший квадрат, содержащий этот участок, имеет в себе: [ l + 2 + 3 + ... + (m — 1) + т]2 клеток; меньший квадрат, прилегающий к этому участку, содержит [ l + 2 + 3 + ... + (m — 1)]2 клеток. В участке, заключённом между ними, имеется [ l + 2 + 3 + ... + (m — 1) + т]2 — [ l + 2 + 3 + ... + (m — 1)]2 клеток. Полученное выражение представляет собой разность квадратов вида А2— В2; её можно представить в виде произведения (А+В) (А— В). В данном случае: А + В = l + 2 + 3 + ... + (m — 1) + т + l + 2 + 3 + ... + (m — 1) или же l + 2 + 3 + ... + (m — 1) + т + (m — 1) + ... +3 + 2 +1, а это выражение, согласно формуле (4) равно т2. Разность выражений, стоящих в скобках, равна т. Поэтому искомое число клеток равно т2 • т = т3. Таким образом, на нашей схеме в участке с нумером т заключается т3 клеток. Так, девятый участок содержит 93 = 729 клеток; десятый участок содержит 103 = 1000 клеток. Теперь уже нетрудно доказать формулу (5). Если квадратная схема имеет п участков, то сумма клеток во всех участках равна 13 + 23+ ... + n3. Но сторона объемлющего квадрата равна (1 + 2 + 3 + ... + п) ед., а потому квадрат содержит (1 + 2 + 3 + ... + п)2 клеток. Из сравнения обоих результатов получаем прежнюю формулу: Σ3 = (Σ1)2 Предлагаем читателю, в виде упражнения, сравнить второй вывод формулы при помощи клеток с первым выводом и установить связь между ними. Если вместо Σ1 подставить её значение, выраженное через п, то получим значение Σ3 также выраженное через число п. По формуле 3 мы имели:
Отсюда следует, что
Значит
и окончательно
|
или короче: 
(6)