ГЛАВА V.

ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?

5. Логарифм как площадь.

В § 3 мы рассматривали движение по особому закону, и особая связь переменных, времени t = x и длины пути s = y, дала нам новую функцию —логарифм. В § 4 мы ввели специальное число, а именно — значение длины пути s при значении t=1, и обозначили эту длину через «е». Число е даёт возможность производить вычисления для отдельных изолированных значений х. Естественно поставить вопрос: нельзя ли найти формулу (рецепт), позволяющую быстро и легко по данному значению s найти соответствующее значение t?

Оказывается, это возможно: вся следующая глава будет посвящена выводу такой формулы (ключ Меркатора). Но в порядке подготовки к этому выводу, мы сначала должны дать совершенно другое истолкование той связи, той функциональной зависимости, которая существует между переменными величинами s и t.

В настоящем параграфе мы покажем, что если величину s представить в виде абсциссы, то величина t (т. е. логарифм) может быть представлена в виде некоторой криволинейной площади. На прилагаемом чертеже (черт. 52, а) ордината PN = у = s означает достигнутое движущейся точкой расстояние от начальной точки, абсцисса ОР = х = t - протекшее время. По некоторым соображениям, которые будут выяснены дальше, длину ординаты PN следует брать меньшей, чем 2 ед.; возьмём, например, ее  равной 1,8 ед. Как найти соответствующее значение абсциссы t или х?

С этой целью разделим (черт. 52, b) длину пройденного пути от s = l до s =1,8 на равные доли и будем для каждой такой доли подсчитывать  требуемый для её прохождения промежуток времени.

Для очень мелкого элемента пути Δs = Δy скорость можно приближённо считать постоянной и равной, например, расстоянию до начала этого элемента (или же до конца его). Если дистанция [1 ... 1,8] разделена, например, на 80 равных долей, то, считая на элементах пути     [1...1,01];     [1,01 ... l,02]; [l,02... 1,03]; ... , [1,56... 1,57]; [1,57... 1,58]; ...,  [1,79... 1,80]   скорость   соответственно   равной    1 м/час; 1,01 м/час; 1,02 м/час.....1,56 м/час;   1,57   м/час.....1,79 м/час и постоянной на  каждом элементе пути, найдём, что затраченные на их прохождение   промежутки   времени будут равны:

Сумма всех этих промежутков времени:

или в более общей записи:

даёт приближённое значение всего интервала времени. Результат будет точнее, если разделить дистанцию [1 ... 1,8] на 800 равных долей, на 8000 равных долей и т. д. Чем больше число долей п, тем точнее результат. Рассматриваемые суммы принято записывать в виде  и т. д. При   нашем   стремлении  получить совершенно точное значение всего интервала времени t = x, мы должны неограниченно увеличивать число  п   долей.   Таким   образом,   искомая   величина представляется нам, как предел суммы

Этот предел суммы получил в математике название интеграла и особое обозначение:

Для дальнейшего будет полезно сделать некоторое преобразование того графика движения Непера, который мы до сих пор рассматривали. Цель этого преобразования такова: так как мы по данной длине пути s отыскиваем время t, то будет удобнее, чтобы исходная величина s была откладываема по горизонтали, а искомая величина t — по вертикали.

Вообразим себе (черт. 53) зеркало, поставленное перпендикулярно к плоскости чертежа вдоль прямой ОН, биссектрисы координатного угла. Тогда, вычертив на том же чертеже зеркальное отражение первоначального графика, мы увидим, что каждой точке М прежнего графика будет отвечать некоторая точка М нового. Нетрудно видеть, что абсциссе точки М отвечает равная ей ордината точки М, и наоборот, т. е.

x = y , y = x

Каков будет закон построения новой кривой E N? Если для первой (I) кривой наклон её (т. е. тангенс угла касательной с горизонталью) был численно равен ординате у, то у новой кривой наклон будет иметь обратное значение: касательная ко второй (II) кривой симметрична с касательной к первой (I)  относительно биссектрисы ОН. Если, например, в точке М имеем tg α = ⁸/₅ то в симметричной точке М имеем tg α = ⁵/₈ , так как

tg α  =  tg (90° — α ) =  ctg α = ¹/_{tg α}.

И если для первой (I) кривой мы имеем закономерность tg α = y, то для второй (II) кривой, казалось бы имеет место соотношение tg α = ¹/_y. Но это неправильно: дело в том, что при отражении в зeркале «ордината» переходит в «абсциссу», а потому величину  у в  точке N  следует заменить величиной х  в  точке  N.

В  результате,   для  любой  точки N второй (II)   кривой имеет место равенство:

угловой коэффициент касательной tg α = ¹/_x.

После того как   прежняя (I) кривая Непера  была отражена в зеркале, мы имеем уже новую (II) кривую и в дальнейшем мы сосредоточим внимание именно на ней.

Она получила название логарифмической, так как для неё по горизонтали откладываются обычные числа (путь), а по вертикали логарифм (т. е. протекшее время).

Для дальнейших выводов будет целесообразно переменить роли «пути» и «времени». А именно, будем и новую кривую рассматривать как график движения другого типа (черт. 54) и, как обычно принято, считать, что вдоль горизонтальной оси откладывается протекшее время t, а вдоль вертикальной—длина пройденного пути s.

Только что выведенное свойство II кривой можно, отбрасывая чёрточки над буквами, записать так:

tg α = ¹/_x.

Так как тангенс   угла  наклона  касательной означает скорость, то движение нового типа можно характеризовать следующим образом.

Воображаемый путник в момент t = 1 (час) только выходит из начальной точки; путник всё время держит в руках часы; в начале каждой доли времени (например, каждой секунды) путник, посмотрев на часы (например,   показывающие   1,2   часа),  мгновенно находит обратное  значение  (например, ¹/_1,2) , т.е. вместо t берёт ¹/_t , и движется со скоростью v = ¹/_t в течение взятой доли времени. Весь подсчёт, рассмотренный нами выше, вида

остаётся прежним, но теперь мы берём не приращения пути Δ у, а приращения времени Δ х, и не делим на скорость у, а умножаем на новую скорость v = ¹/_t . Поэтому получим новую сумму вида

Для   точного   подсчёта   нам   попрежнему   надо   будет взять предел такой суммы, т. е. интеграл:

Выполним ещё одно—последнее   геометрическое преобразование для искомой величины (т. е. логарифма). А именно, для последнего рассмотренного движения, когда   переменная скорость в любой момент t численно равна обратному значению ¹/_t , построим график скоростей. Оставляя неизменной ось Ох = Ot, будем откладывать вдоль оси Оу не длину пути, а скорость. Читатель, вероятно, встречал такой график скорости в курсе физики (черт. 55). Тогда, в силу закона рассматриваемого движения, графиком скорости будет служить уже знакомая нам по предыдущим главам гипербола

y = v = ¹/_t = ¹/_x

Элемент пути теперь представится в виде произведения ординаты ¹/_x на малое приращение абсциссы Δ х = Δ t, т. е. узким прямоугольником:

Δ s = v • Δ t = y • Δ х = ¹/_x • Δ х ( = площади узкого прямоугольника).

Совокупность площадей таких тонких, элементарных прямоугольников даст в пределе некоторую криволинейную площадь. Величина этой суммарной площади численно будет равна искомой длине пути, т. е. логарифму.

На черт. 55 одновременно показаны: на верхнем графике—элементы пути в виде приращений ординаты:

Δ у = Δ х • tg α,

на нижнем графике — те же элементы пути в виде узких прямоугольников. Правда, на верхнем чертеже элементы пути представлены отрезками, т. е. геометрической величиной первого измерения, а внизу — площадкой, т. е. величиной второго измерения, но численно те и другие величины постоянно остаются соответственно равными,

Мы имеем здесь различие геометрического изображения при одном и том же арифметическом содержании.

Но вторая форма более наглядна, более осязательна, она ближе нашему чувственному восприятию. Поэтому в последнее время некоторые учёные предложили, чтобы и в школе ученикам разъяснять логарифм наглядно в виде площади, а именно так:

Определение. Логарифмом некоторого числа z называется величина криволинейной площади, ограниченной сверху дугой гиперболы и взятой на интервале [1 ... z ]

Эта площадь замещает ординату у логарифмической кривой, о которой шла речь выше. И если раньше основное свойство, связывающее числа y_i с их логарифмами x_i, записывалось в виде:

при  у₁• у₂ = у₃     х₁ + х₂ = х₃,

то теперь это же основное свойство  примет следующую форму:

пл.[1 . . . z₁] +  пл. [1 ... z₂] = пл. [1 ... z₁ • z₂].

Это —как раз то свойство площади, ограниченной дугой гиперболы и прямолинейными отрезками, о котором шла речь во II главе. Но если раньше это свойство геометрической модели логарифма появилось как бы неожиданно, случайно и было лишь слабо связано с понятием отношения двух чисел, то теперь оно представляется как звено в общей теории, оно вплетается в общую сеть закономерностей, причём в основе всей теории лежит идея Непера.

В заключение этой главы скажем несколько слов о привычном,  «школьном» определении логарифма.

Мы видим ,что при неперовом движении log е = 1,  log (е²) = 2, log (е³) = 3 и т. д. Если х — рациональное число, т. е. если он равняется дроби ^m/_n, где m и п — целые числа,то и в этом случае log (e^x) = x. Таким образом логарифм степени числа е равняется показателю степени, в которую возводится число е. В случае бригговых логарифмов вместо числа е приходится рассматривать степени числа 10.

Мы приходим к привычному определению логарифма:

логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить N.

Это определение хорошо тем, что позволяет очень просто вывести все нужные формулы и быстро перейти к практическим вычислениям. В силу этих причин его кладут в основу школьного изложения теории логарифмов.

Но здесь нужно сделать важное замечание. При неперовом движении (движении непрерывном) время может принимать не только рациональные, но и иррациональные значения. Так, например, при t = √2 непременно найдётся соответствующее ему значение расстояния s (именно в силу непрерывности движения). В этом случае, как и в случае рационального значения t, пишут s = e ^t = e^√2 , получая совершенно естественно иррациональные степени числа е. Меняя масштаб неперовой кривой , можно столь же естественно получить степень с иррациональным показателем при любом основании а, например, при а = 10.

Мало того. Формула, данная в параграфе 4, которую можно записать так:

позволяет легко вычислить, с какой угодно степенью точности, любую степень числа е, независимо от того, рационален или иррационален её показатель.

Если же, как это делается обычно в школе, дать формальное определение логарифма, не обосновывая при этом учения об иррациональных показателях, то всё учение о логарифмах окажется построенным на песке.